Teori usikan (mekanik kuantum)

Dalam mekanik kuantum, teori usikan adalah satu set skim anggaran yang berkaitan terus dengan usikan matematik untuk menerangkan sistem kuantum yang rumit untuk dipermudahkan. Idea ini bermula dengan satu sistem mudah dan dinaikkan dengan penambahan "usikan" Hamiltonian mewakili usikan lemah kepada sistem. Jika gangguan tidak terlalu besar, pelbagai kuantiti fizik yang berkaitan dengan sistem (seperti aras tenaga dan keadaan eigen) akan berterusan dijana dari sistem mudah itu.

Penggunaan teori usikan

Teori usikan adalah alat yang penting untuk menerangkan sistem kuantum nyata, kerana ia akan menjadi sangat sukar untuk mencari penyelesaian tepat bagi persamaan Schrödinger dan Hamiltonian walaupun tahap kesukarannya masih di tahap sederhana. Hamiltonian seperti yang kita tahu penyelesaian tepatnya, seperti atom hidrogen, pengayun harmonik kuantum dan zarah di dalam kotak, adalah terlalu unggul untuk menerangkan kebanyakan sistem dengan mencukupi. Menggunakan teori usikan, kita boleh menggunakan penyelesaian yang kita tahu bagi Hamiltonian mudah ini untuk menjana penyelesaian bagi kebanyakan sistem rumit yang lain. Sebagai contoh, dengan menambah keupayaan elektrik yang mengganggu kepada model mekanik kuantum untuk atom hidrogen, kita boleh mengira perubahan kecil dalam garis spektrum hidrogen yang disebabkan oleh kehadiran medan elektrik (kesan Stark). Ini hanyalah anggaran kerana jumlah keupayaan Coulomb dengan keupayaan linear adalah tidak stabil walaupun masa penerowongan (kadar reputan) adalah sangat panjang. Ini menunjukkan sebagai pelebaran garis spektrum elektrik, sesuatu yang gagal diperhatikan teori usikan secara menyeluruh.

Teori usikan tidak bergantung dengan masa

Terdapat dua kategori teori usikan: bergantung dengan masa dan tidak bergantung dengan masa. Dalam bahagian ini, kita akan menbincangkan teori usikan yang tidak bergantung dengan masa, iaitu usikan Hamiltoninan adalah statik (tidak mengandungi apa-apa kaitan dengan masa.) Teori usikan yang tidak bergantung dengan masa dibentangkan oleh Erwin Schrödinger dalam kertas 1926, sebaik selepas dia menhasilkan teorinya dalam mekanik gelombang. Dalam kertas ini, Schrödinger merujuk kepada kerja Lord Rayleigh, yang menyiasat getaran harmonik bagi tali yang terusik oleh ketidak homogenan yang kecil. Disebabkan inilah, teori usikan ini sering dirujuk sebagai teori usikan Rayleigh-Schrödinger.

Kita mula dengan Hamiltonian tak terusik H₀, yang juga dianggap tidak bergantung dengan masa. Ia mempunyai aras tenaga dan keadaan eigen yang diketahui, dari persamaan Schrödinger yang tidak bergantung dengan masa:

$H_{0}|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(0)}\rangle \quad ,\quad n=1,2,3,\cdots$

Bagi memudahkan, kita menganggap yang tenaga adalah diskret. $(0)$ menunjukkan kuantiti ini berkaitan dengan sistem tak terusik.

Kini kita perkenalkan satu usikan kepada Hamiltonian. Jadikan V menjadi perwakilan Hamiltonian bagi gangguan yang lemah, seperti tenaga keupayaan yang dihasilkan oleh medan luar. (Maka, V dikenali sebagai pengoperasi Hermitian.) Jadikan $\lambda$ sebagai parameter tak berdimensi yang boleh mengambil nilai berselanjar dari 0 (ta terusik) kepada 1 (usikan penuh). Hamiltonian terusik adalah

$H=H_{0}+\lambda V.$

Aras tenaga dan keadaan eigen bagi Hamiltonian terusik sekali lagi diberi oleh persamaan Schrödinger:

$\left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle .$

Matlamat kita ialah untuk menyatakan E_n dan |n> dalam sebutan aras tenaga dan keadaan eigen Hamiltonian lama. Jika usikan terlalu lemah, kita boleh menulisnya sebagai siri kuasa dalam λ:

$E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots$

$|n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +\cdots$

Apabila λ = 0, ia akan berkurang kepada nilai tak terusik, iaitu sebutan pertama dalam setiap siri. Memandangkan usikan adalah lemah, aras tenaga dan keadaan eigen tidak harus menyisih terlalu besar dari nilai tak terusik, dan sebutan haruslah menjadi semakin kecil apabila kita mencecah tertib yang lebih besar.

Masukkan siri kuasa ke dalam persamaan Schrödinger, kita peroleh

${\begin{matrix}\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\qquad \qquad \qquad \qquad \\\qquad \qquad \qquad =\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\end{matrix}}$

Kebangkan persamaan ini dan bandingkan pekali setiap kuasa λ menghasilkan siri tak terhad bagi persamaan serentak. Persamaan tertib sifar adalah persamaan Schrödinger bagi sistem tak terusik. Persaaan tertib pertama adalah

$H_{0}|n^{(1)}\rangle +V|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle$

Darabkannya dengan <n⁽⁰⁾|. Sebutan pertama di bahagian kiri dimansuhkan dengan sebutan pertama di bahagian kanan. (Ingat, Hamiltonian tak terusik adalah hermitian). Ini menyebabkan peralihan tenaga tertib pertama:

$E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$

Ini adalah nilai jangkaan bagi Hamiltonian terusik sementara sistem adalah dalam keadaan tak terusik. Keputusan ini boleh dikatakan seperti verikut: katakan usikan dikenakan, tetapi kita kekalkan sistem dalam keadaan kuantum |n⁽⁰⁾>, iaitu keadaan kuantum yang sah walaupun bukan lagi keadaan eigen bagi tenaga. Usikan menyebabkan tenaga purata bagi keadaan ini meningkat oleh <n⁽⁰⁾|V|n⁽⁰⁾>. Walau bagaimanapun, peralihan tenaga sebenar adalah berbeza sedikit kerana keadaan eigen yang terusik tidaklah betul-betul sama dengan |n⁽⁰⁾>. Peralihan begini diberi oleh pembetulan tertib kedua dan seterusnya kepada tenaga.

Sebelum kita kira pembetulan kepada keadaan eigen tenaga, kita perlu menyatakan isu penormalan. Kita boleh katakan <n⁽⁰⁾|n⁽⁰⁾>=1, tetapi teori usikan menganggap kita juga mempunyai <n|n>=1. Ia mengikut pada tertib pertama dalam λ, kita perlukan <n⁽⁰⁾|n⁽¹⁾>+<n⁽¹⁾|n⁽⁰⁾>=0. Memandangkan fasa keseluruhan tidak ditentukan dalam mekanik kuantum, tanpa kehilangan secara am, kita boleh anggap <n⁽⁰⁾|n> adalah betul-betul nyata. Maka, <n⁽⁰⁾|n⁽¹⁾>=<n⁽¹⁾|n⁽⁰⁾>, dan kita tahkikkan

$\langle n^{(0)}|n^{(1)}\rangle =0.$

Untuk mendapatkan pembetulan tertib pertama ke dalam keadaan eigen tenaga, kita masukkan persamaan bagi pembetulan tenaga tertib pertama ke dalam persamaan di atas antara pekali tertib pertama λ. Kita kemudian boleh menggunakan peleraian identiti,

$V|n^{(0)}\rangle ={\Big (}\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|{\Big )}V|n^{(0)}\rangle +\left(|n^{(0)}\rangle \,\langle n^{(0)}|\right)V|n^{(0)}\rangle$

$=\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle ,$

iaitu $|k^{(0)}\rangle$ adalah pelengkap ortogon bagi $|n^{(0)}\rangle$. Keputusannya adalah

$\left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$

Buat masa ini, katakan aras tenaga tertib sifar tidak degenerat, iaitu tiada keadaan eigen bagi $H_{0}$ dalam pelengkap ortogon $|n^{(0)}\rangle$ dengan tenaga $E_{n}^{(0)}$. Kita darabkan dengan <k⁽⁰⁾|, yang memberikan

$\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\langle k^{(0)}|n^{(1)}\rangle =\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$

maka pelengkap pembetulan tertib pertama sepanjang |k⁽⁰⁾> disebabkan anggapan $E_{n}^{(0)}\neq E_{k}^{(0)}$. Secara keseluruhan, kita mendapat

$|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle$

Tertib pertama berubah dalam ket eigen tenaga ke-n mempunyai sumbangan dari setiap keadaan eigen k ≠ n. Setiap sebutan berkadaran kepada unsur matrik <k⁽⁰⁾|V|n⁽⁰⁾>, yang merupakan ukuran kepada berapa banyak usikan dalam keadaan eigen n dengan keadaan eigen k; ia juga berkadar songsang dengan perbezaan tenaga kepada keadaan eigen k and n. Kita juga melihat yang pernyataan tersebt adaah tunggal jika mana-mana keadaan mempunyai tanaga yang sama dengan kadaan n, sebab itu kita menyatakan tiada degenerat.

Kita boleh mencari sisihan tertib tinggi dengan cara yang serupa walaupun pengiraan menjadi lebih bercelaru dengan rumus sekarang ini. Pernyataan penormalan memberikan 2<n⁽⁰⁾|n⁽²⁾>+<n⁽¹⁾|n⁽¹⁾>=0. Hingga ke tertih kedua, pernyataan bagi tenaga dan keadaan eigen (yang dinormalkan) adalah:

$E_{n}=E_{n}^{(0)}+\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle +\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\cdots$

$|n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle {\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}|k^{(0)}\rangle {\frac {\langle k^{(0)}|V|\ell ^{(0)}\rangle \langle \ell ^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)})(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)})}}-$

$\sum _{k\neq n}|k^{(0)}\rangle {\frac {\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)})^{2}}}-{\frac {1}{2}}\sum _{k\neq n}|n^{(0)}\rangle {\frac {\langle n^{(0)}|V|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{(E_{k}^{(0)}-E_{n}^{(0)})^{2}}}+\cdots$