Delta Kronecker

Dalam matematik, delta Kronecker (dinamakan sempena Leopold Kronecker) ialah fungsi dua pembolehubah, biasanya hanya integer bukan negatif. Fungsinya ialah 1 jika pembolehubah adalah sama, dan 0 sebaliknya:

$$\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$$

atau dengan menggunakan kurungan Iverson:

$$\delta _{ij}=[i=j]\,$$

di mana delta Kronecker δij ialah fungsi sekeping pembolehubah i dan j. Sebagai contoh, δ_1 2 = 0, manakala δ_3 3 = 1.

Delta Kronecker muncul secara semula jadi dalam banyak bidang matematik, fizik dan kejuruteraan, sebagai cara untuk menyatakan definisinya secara padat di atas.

Dalam algebra linear, matriks identiti n × n I mempunyai entri yang sama dengan delta Kronecker:

$$I_{ij}=\delta _{ij}$$

di mana i dan j mengambil nilai 1, 2, ..., n, dan hasil darab dalam bagi vektor boleh ditulis sebagai

$$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}\delta _{ij}b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$$

Di sini vektor Euclidean ditakrifkan sebagai n -tuples: $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ dan $\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ dan langkah terakhir diperoleh dengan menggunakan nilai delta Kronecker untuk mengurangkan penjumlahan ke atas j.

Sekatan kepada integer positif atau bukan negatif adalah perkara biasa, tetapi sebenarnya, delta Kronecker boleh ditakrifkan pada set arbitrari.