Sfera: Perbezaan antara semakan
Kandungan dihapus Kandungan ditambah
Tiada ringkasan suntingan |
|||
Baris 11:
Dalam 3 dimensi, [[isi padu]] yang dibendung dalam sebuah sfera (iaitu, isi padu [[bola (matematik)|bola]]) diberikan oleh rumus
:<math>\!V = \frac{4}{3}\pi j^3</math>
iaitu ''j'' ialah jejari sfera dan π ialah pemalar [[pi]]. Rumus ini mula diterbitkan oleh [[Archimedes]], yang memperlihatkan isi padu 2/3 dari silinder yang terbendung. (Hal ini menurut [[prinsip Cavalieri]].) Dalam matematik moden, rumus ini boleh diterbitkan menggunakan [[kalkulus kamiran]], contohnya [[pengkamiran cakera]].
Bagi sebarang ''x'', penambahan isi padu (''δV'') diberikan oleh hasil darab keratan rentas luas cakera pada ''x'' dan ketebalannya (''δx''):
:<math>\!\delta V \approx \pi y^2 \cdot \delta x.</math>
The total volume is the summation of all incremental volumes:
:<math>\!V \approx \sum \pi y^2 \cdot \delta x.</math>
Bagi had apabila δx menghampiri sifar<ref name="delta">Pages 141, 149. {{cite book
| author = E.J. Borowski, J.M. Borwein
| title = Collins Dictionary of Mathematics
| isbn = 0-00-434347-6}}
</ref>, ia menjadi:
:<math>\!V = \int_{x=0}^{x=j} \pi y^2 dx.</math>
Bagi sebarang ''x'', segi tiga tegak menghubungkan ''x'', ''y'' dan ''j'' ke asalan, lalu ia mengikut [[teorem Pythagoras]] yang:
:<math>\!j^2 = x^2 + y^2.</math>
Lalu, gantikan ''y'' dengan fungsi ''x'' dan memberikan:
:<math>\!V = \int_{x=0}^{x=j} \pi (j^2 - x^2)dx.</math>
Ia boleh dinilaikan sebagai:
:<math>\!V = \pi \left[j^2x - \frac{x^3}{3} \right]_{x=0}^{x=j} = \pi \left(j^3 - \frac{j^3}{3} \right) = \frac{2}{3}\pi j^3.</math>
Isi padu ini detakrifkan sebagai hemisfera, iaitu separa sfera. Gandakannya sebanyak dua kali akan memberikan isi padu sfera iaitu:
:<math>\!V = \frac{4}{3}\pi j^3.</math>
Kaedah lain bagi rumus ini boleh menggunakan [[koordinat sfera]], bagi unsur isi padu
:<math>\mathrm{d}V=j^2\sin\theta\,\mathrm{d}j\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi</math>
| |||