Punca kuasa dua untuk nombor 2: Perbezaan antara semakan
Kandungan dihapus Kandungan ditambah
k r2.5.4) (bot menambah: ar:ثابت فيثاغورس |
k r2.5.2) (bot mengubah: zh:2的算術平方根; perubahan kosmetik |
||
Baris 1:
[[
'''Punca kuasa dua 2''', juga dikenali sebagai '''pemalar Pythagoras''', sering ditulis sebagai
Baris 10:
{| border="1" style="float: right; border-collapse: collapse;"
| colspan="2" align="center" | [[Senarai nomobor]] - [[Nombor tak nisbah]]<br />[[Pemalar Euler-Mascheroni|γ]] - [[Pemalar Apéry|
|-
|[[Sistem angka dedua|Perduaan]]
Baris 29:
:<math>1+\sqrt{2}.\,</math>
== Sejarah ==
[[
Tablet tanah liat [[Babylon]] YBC 7289 (kk. 1800–1600 SM) memberikan anggaran <math>\sqrt{2}</math> dalam bentuk [[perenam-puluhan]], iaitu lebih kurang bentuk enam [[perpuluhan]]:<ref>Fowler and Robson, p. 368.<br />[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection]<br />[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]</ref>
:<math>1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}.</math>
Baris 42:
Anggaran India purba ini merupakan jujukan ketujuh bagi anggaran tepat untuk jujukan [[nombor Pell]], yang boleh diterbitkan dari kembangan [[pecahan lanjar]] untuk <math>\sqrt{2}.</math>
Penemuan bagi nombor tak nisbah sering menyumbang kepada [[Hippasus of Metapontum]] [[Pythagoras]], yang memperkenalkan bukti ketidak nisbahan (hampir kepada geometri) untuk punca kuasa dua . Menurut lagenda, Pythagoras percaya dalam kemutlakan nombor-nombor dan tidak dapat menerima nombor tak nisbah. Dia tidak dapat memalsukannya melalui logik, tetapi kepercayaannya tidak dapat menerima kewujudan nombor tak nisbah, maka dia menghukum Hippasus untuk mati lemas. [http://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm]
[http://scienceworld.wolfram.com/biography/Hippasus.html], atau dihalau dari golongan itu. [http://www.washingtonpost.com/wp-srv/style/longterm/books/chap1/mysteryaleph.htm]
== Algoritma berkomputer ==
Banyak algoritma yang membuat penganggaran punca kuasa 2, sama ada dalam pernyataan nisbah integer atau dalam bentuk perpuluhan. Algoritma paling biasa bagi kes ini, sama ada menggunakannya dalam banyak komputer atau mesin pengira, adalah kaedah Babylon<ref>Walaupun istilah "kaedah Babylon" lazim digunakan dalam kegunaan moden, tiada bukti langsung menunjukkan orang Babylon mengira anggaran <math>\sqrt{2}</math> dilihat pada YBC 7289. Fowler dan Robson menawarkan konjektur terperinci.<br />Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.</ref> bagi pengiraan punca kuasa 2 yang merupakan salah satu daripada [[kaedah mengira punca kuasa]]. Perkara itu adalah seperti berikut:
Pertama, ambil mana-mana tekaan, <math>F_0</math>; tekaan itu tidak penting kerana tekaan itu hanya mempengaruhi berapa banyak lelaran yang diperlukan untuk mencapai anggaran penghampiran bagi ketepatan tertentu. Kemudian, dengan menggunakan tekaan itu, lelarkannya menerusi pengiraan rekursif tersebut:
Baris 58:
Pada Februari 2006, rekod pengiraan √2 telah diganti dengan penggunaan komputer rumah. Shigeru Kondo mengira hingga 200,000,000,000 tempat perpuluhan dalam lebih kurang 13 hari dan 14 jam menggunakan 3.6GHz PC yang mempunyai 16GB ingatan.
Dalam banyak-banyak pemalar dengan kembangan perpuluhan tak berulang, hanya [[pi|
== Bukti ketidaknisbahan ==
=== Pembuktian dengan penurunan tak terhingga ===
Satu pembuktian nombor tak nisbah adalah pembuktian dengan penurunan tak terhingga. Ia juga pembuktian melalui percanggahan, yang membawa makna pernyataan dibuktikan dengan menganggap bahawa jika apa bertentangan dengan pernyataan itu adalah benar dan dengan menunjukkan yang anggapan ini adalah salah akan memberi makna bahawa pernyataan asal itu adalah betul.
Baris 80:
Pembuktian ini boleh digunakan untuk sebarang punca kuasa [[nombor asli]] untuk menunjukkan sama ada nombor itu nombor asli atau nombor tidak nisbah.
=== Pembuktian dengan pemfaktoran unik ===
Pembuktian lain menggunakan pendekatan yang sama dengan teorem pemfaktoran unik:
Baris 91:
# Ini menyatakan yang pemfaktoran perdana dengan kuasa genap 2 (2''x'') adalah sama dengan nombor berkuasa ganjil 2 (2''y''+1). Ini bercanggah dengan teorem pemfaktoran unik. Maka, pernyataan asal adalah salah.
=== Bukti geometri ===
[[
Satu lagi pembuktian melalui percanggahan menunjukkan yang √2 adalah nombor tak nisbah adalah tidak berapa diketahui.<ref>Apostol (2000), p. 841</ref>
Biarkan ''ABC'' segi tiga sama kaki tegak dengan panjang hipotenus ''m'' dan kaki ''n''.
Lukis lengkungan ''BD'' dan ''CE'' berpusatkan ''A''.
Memandangkan ∠''EBF'' adalah sudut tegak dan ∠''BEF'' separuh sudut tegak, ''BEF'' juga segitiga sama kaki tegak.
Memandangkan kita mempunyai segitiga sama kaki tegak yang lebih kecil, dengan panjang hipotenus 2''n''
== Sifat-sifat punca kuasa dua ==
separuh √2, lebih kurang 0.70710 67811 86548, merupakan kuantiti lazim dalam geometri dan
:<math>\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).</math>
Baris 122:
:<math>\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}</math> and <math>\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}.</math>
== Perwakilan siri dan hasil darab ==
Pengenalan kos(π/4) = sin(π/4) = √2/2, bersama perwakilan hasil darab tak terhingga bagi sin dan kosin membawa kepada hasil darab seperti
Baris 170:
Tidak diketahui sama ada √2 boleh diwakilikan dengan rumus BBP-type. Rumus BBP-type digunakan untuk π√2 dan √2 ln(1+√2). [http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/bbp-formulas.pdf]
== Perwakilan pecahan lanjar ==
Punca kuasa dua mempunyai perwakilan pecahan lanjar seperti berikut:
:<math> \!\ \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdots}}}. </math>
== Catatan ==
<references/>
Baris 184:
*{{cite journal |quotes= |last= |first= |authorlink= |coauthors= |year= |month= |title= |journal= |volume= |issue= |pages= |id= |url= |accessdate= }}
-->
* {{cite journal |quotes= |last=Apostol |first=Tom M. |authorlink= |coauthors= |year=2000 |month=November |title=Irrationality of The Square Root of
* {{cite book |last=Flannery |first=David |authorlink= |coauthors= |others= |title=The Square Root of Two |year=2005 |publisher=Springer |location= |id=ISBN 0-387-20220-X }}
* {{cite journal |quotes= |last=Fowler |first=David |authorlink= |coauthors=Eleanor Robson |year=1998 |month=November |title=Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context |journal=Historia Mathematica |volume=25 |issue=4 |pages=366-378 |id= |url=http://www.hps.cam.ac.uk/dept/robson-fowler-square.pdf |accessdate= }}
* Gourdon, X. & Sebah, P. [http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html Pythagoras' Constant: √2]. Includes information on how to compute digits of <math>\sqrt{2}</math>.
* Henderson, David W., ''[http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html Square Roots in the Sulbasutra]''
== Pautan luar ==
* {{en}} [http://www.gutenberg.org/etext/129 The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert Nemiroff. May, 1994.]
* {{en}} [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Square root of 2 is irrational], a collection of proofs
* {{en}} [http://xn--2-tbo.net
[[Kategori:Fungsi khas]]
Baris 218:
[[sv:Kvadratroten ur 2]]
[[th:กรณฑ์ที่สองของสอง]]
[[zh:2的算術平方根]]
|