Teorem asas aritmetik

Jangan dikelirukan dengan Teorem asas algebra.

Dalam teori nombor, teorem asas aritmetik, juga dikenali sebagai teorem pemfaktoran unik atau teorem pemfaktoran perdana unik, menyatakan yang setiap integer lebih daripada 1 adalah sama ada nombor perdana ataupun hasil darab beberapa nombor perdana, dan hasil darab ini, termasuklah kuasa faktor-faktor, adalah unik untuk semua nombor. Misalnya,

Teorem pemfaktoran unik telah dibuktikan benar oleh Gauss dalam buku tahun 1801 beliau, Disquisitiones Arithmeticae. Dalam karya ini, Gauss telah menggunakan teorem asas ini untuk membuktikan hukum kesalingan kuadratik.

1200 = 2⁴ × 3¹ × 5² = 3 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 = 5 × 2 × 3 × 2 × 5 × 2 × 2 = dll.

Teorem ini menyatakan dua perkara: pertama, bahawa 1200 boleh dinyatakan sebagai hasil darab nombor-nombor perdana, dan kedua, dengan cara apa sekalipun, akan sentiasa ada hanya empat angka 2, satu angka 3, dua angka 5, dan tiada nombor perdana lain dalam hasil darabnya.

Adalah perlu bagi faktor-faktor yang dinyatakan dalam teorem ini bersifat perdana: pemfaktoran dengan nombor gubahan boleh jadi tidak unik (misalnya, 12 = 2 × 6 = 3 × 4).

Teorem ini adalah salah satu sebab utama mengapa 1 tidak dikira sebagai nombor perdana: jika 1 adalah nombor perdana, pemfaktoran bagi sebarang nombor tidak akan menjadi unik kerana, sebagai contoh, 2 boleh sama dengan 2 × 1 dan 2 × 1 × 1 dan seterusnya.

Sejarah

Buku VII, proposisi 30 dan 32 Euclid's Elements adalah pada dasarnya pernyataan dan bukti bagi teorem asas ini.

Jika dua angka dengan mendarabkan satu sama lain membentuk sesuatu

nombor, dan sebarang nombor perdana mengukur hasil darab tersebut, ia akan

juga mengukur salah satu daripada nombor asal.

— Euclid, Elements Buku VII, Proposisi 30

Proposisi 30 juga dikenali sebagai lemma Euclid, dan ia adalah kunci dalam pembuktian teorem asas aritmetik.

Sebarang nombor gubahan diukur oleh beberapa nombor perdana.

— Euclid, Elements Buku VII, Proposisi 31

Proposisi 31 diterbitkan daripada proposisi 30.

Sebarang nombor adalah sama ada nombor perdana atau diukur oleh beberapa nombor perdana.

— Euclid, Elements Buku VII, Proposisi 32

Proposisi 32 diterbitkan daripada proposisi 31.

Artikel 16 Disquisitiones Arithmeticae Gauss adalah pernyataan dan pembuktian moden awal yang menggunakan aritmetik modular.

Aplikasi

Perwakilan kanonik integer positif

Setiap integer positif n > 1 boleh diwakilkan dalam hanya satu cara sebagai hasil darab nombor perdana dengan kuasa:

$n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}$

di mana p₁ < p₂ < ... < p_k adalah nombor perdana dan α_i adalah integer positif. Perwakilan ini biasanya dilanjutkan untuk semua integer positif, termasuk satu, melalui persetujuan bahawa hasil darab kosong adalah sama dengan 1 (hasil darab kosong sepadan dengan k = 0).

Rujukan

Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemah daripada bahasa Latin ke bahasa Inggeris dan Jerman. Edisi bahasa Jerman menyertakan semua hasil kerja beliau dalam teori nombor: semua pembuktian kesalingan kuadratik, penentuan tanda bagi hasil tambah Gauss, kajian berkenaan kesalingan bikuadratik, dan nota-nota yang tidak diterbitkan.

• Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (penterjemah ke bahasa Inggeris) (1986), Disquisitiones Arithemeticae (Edisi kedua dengan pembetulan), New York: Springer, ISBN 978-0-387-96254-2
• Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (penterjemah ke bahasa Jerman) (1965), Untersuchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Edisi kedua), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8

Dua monograf yang Gauss telah terbitkan berkenaan kesalingan bikuadratik mempunyai seksyen-seksyen yang dinomborkan secara berturutan: yang pertama mempunyai §§ 1–23 dan yang kedua §§ 24–76. Nota-nota kaki yang merujuk monograf ini dinyatakan dalam bentuk "Gauss, BQ, § n". Nota-nota kaki yang menrujuk Disquisitiones Arithmeticae dinyatakan dalam bentuk "Gauss, DA, Art. n".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Semua ini terdapat dalam Werke Gauss, Jilid II, ms. 65–92 dan 93–148; terjemahan Jerman adalah dalam ms. 511–533 dan 534–586 dalam Disquisitiones edisi Jerman.

• Baker, Alan (1984), A Concise Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-28654-1
• Euclid (1956), The thirteen books of the Elements, 2 (Books III-IX), Translated by Thomas Little Heath (ed. Second Edition Unabridged), New York: Dover, ISBN 978-0-486-60089-5
• Templat:Hardy and Wright
• A. Kornilowicz; P. Rudnicki (2004), "Fundamental theorem of arithmetic", Formalized Mathematics, 12 (2): 179–185
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (ed. 2nd), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950.
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766.
• Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization (second edition), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5
• Eric W. Weisstein, Abnormal number di MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Fundamental Theorem of Arithmetic di MathWorld.