Perbezaan antara semakan "Teorem asas aritmetik"

tiada ringkasan suntingan
(Mencipta laman baru dengan kandungan '{{Bezakan|Teorem asas algebra}} thumb|Teorem pemfaktoran unik telah dibuktikan benar oleh [[Carl Freidrich Gauss|Gauss dalam...')
 
 
juga mengukur salah satu daripada nombor asal.|Euclid|[[#CITEREFEuclidHeath1956|Elements Buku VII]], Proposisi 30}}
 
Proposisi 30 juga dikenali sebagai [[lemmalema Euclid]], dan ia adalah kunci dalam pembuktian teorem asas aritmetik.
 
{{Petikan|
</math>
di mana {{nowrap begin}}''p''<sub>1</sub> < ''p''<sub>2</sub> < ... < ''p''<sub>k</sub>{{nowrap end}} adalah nombor perdana dan α<sub>''i''</sub> adalah integer positif. Perwakilan ini biasanya dilanjutkan untuk semua integer positif, termasuk satu, melalui persetujuan bahawa [[hasil darab kosong]] adalah sama dengan 1 (hasil darab kosong sepadan dengan ''k''&nbsp;=&nbsp;0).
 
Perwakilan ini dinamakan '''perwakilan kanonik'''<ref>{{harvtxt|Long|1972|p=45}}</ref> untuk ''n'', atau '''bentuk piawai'''<ref>{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=55}}</ref><ref>{{Harvtxt|Hardy|Wright|2008|loc=§ 1.2}}</ref> bagi ''n''.
 
:Misalnya 999 = 3<sup>3</sup>&nbsp;&times;&nbsp;37, 1000 = 2<sup>3</sup>&nbsp;&times;&nbsp;5<sup>3</sup>, 1001 = 7&nbsp;&times;&nbsp;11&nbsp;&times;&nbsp;13
 
Perhatikan bahawa faktor-faktor ''p''<sup>0</sup> = 1 boleh diletakkan tanpa mengubah nilai ''n'' (contohnya, 1000 = 2<sup>3</sup>&nbsp;&times;&nbsp;3<sup>0</sup>&nbsp;&times;&nbsp;5<sup>3</sup>). Malah, sebarang integer positif boleh diwakili secara unik sebagai satu [[hasil darab tak terhingga]] semua nombor perdana positif,
 
:<math>
n=2^{n_1}3^{n_2}5^{n_3}7^{n_4}\cdots=\prod p_i^{n_i},
</math>
 
di mana sejumlah terhad ''n''<sub>''i''</sub> adalah integer positif, dan selebihnya adalah sifar. Dengan membolehkan eksponen bernilai negatif, [[nombor nisbah|nombor-nombor nisbah]] positif juga boleh diwakili bentuk kanonik.
 
===Operasi aritmetik===
Perwakilan kanonik, jika diketahui bentuknya, dapat memudahkan pengiraan hasil darab, [[pembahagi sepunya terbesar]] (gcd) dan [[gandaan sepunya terkecil]] (lcm):
:<math>
a\cdot b
=2^{a_2+b_2}\,3^{a_3+b_3}\,5^{a_5+b_5}\,7^{a_7+b_7}\cdots
=\prod p_i^{a_{p_i}+b_{p_i}},
</math>
 
:<math>
\gcd(a,b)
=2^{\min(a_2,b_2)}\,3^{\min(a_3,b_3)}\,5^{\min(a_5,b_5)}\,7^{\min(a_7,b_7)}\cdots
=\prod p_i^{\min(a_{p_i},b_{p_i})},
</math>
 
:<math>
\operatorname{lcm}(a,b)
=2^{\max(a_2,b_2)}\,3^{\max(a_3,b_3)}\,5^{\max(a_5,b_5)}\,7^{\max(a_7,b_7)}\cdots
=\prod p_i^{\max(a_{p_i},b_{p_i})}.
</math>
 
Namun, oleh sebab [[pemfaktoran integer]] bagi integer-integer besar adalah lebih sukar daripada pengiraan hasil darab, gcd atau lcm angka-angka tersebut, formula-formula di atas tidak banyak digunakan pada praktiknya.
 
===Fungsi aritmetik===
{{utama|Fungsi aritmetik}}
Pelbagai fungsi aritmetik ditakrifkan menggunakan perlambangan kanonik. Khususnya, nilai-nilai fungsi-fungsi [[fungsi bertambahan|bertambahan]] dan [[fungsi berdaraban|berdaraban]] ditentukan oleh nilai-nilainya pada kuasa nombor-nombor perdana.
 
==Pembuktian==
Pembuktian ini menggunakan [[lema Euclid]] (''Elements'' VII, 30): jika satu nombor perdana ''p'' [[pembahagi|membahagi]] hasil darab dua [[nombor asli]] ''a'' dan ''b'', maka sama ada ''p'' membahagi ''a'' atau ''p'' membahagi ''b'' (atau kedua-duanya).
 
===Kewujudan===
Kita perlu tunjukkan yang setiap integer yang lebih besar daripada 1 adalah hasil darab nombor perdana. Melalui aruhan: andaikan hal tersebut adalah benar untuk semua nombor antara 1 dengan ''n''. Jika ''n'' adalah nombor perdana, maka tidak perlu dibuktikan apa-apa lagi (satu nombor perdana adalah hasil darab nombor perdana yang tidak penting, kerana ia hanyalah satu "hasil darab" dengan satu faktor sahaja). Jika tidak, ada terdapat integer ''a'' dan ''b'', di mana ''n''&nbsp;=&nbsp;''ab'', dan 1&nbsp;<&nbsp;''a''&nbsp;≤&nbsp;''b''&nbsp;<&nbsp;''n''. Melalui hipotesis aruhan, ''a''&nbsp;=&nbsp;''p''<sub>1</sub>''p''<sub>2</sub>...''p''<sub>''j''</sub> dan ''b''&nbsp;=&nbsp;''q''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>...''q''<sub>''k''</sub> adalah hasil darab nombor-nombor perdana. Tetapi dengan ini ''n''&nbsp;=&nbsp;''ab''&nbsp;= ''p''<sub>1</sub>''p''<sub>2</sub>...''p''<sub>''j''</sub>''q''<sub>1</sub>''q''<sub>2</sub>...''q''<sub>''k''</sub> adalah hasil darab nombor-nombor perdana.
 
===Keunikan===
Andaikan yang ''s''&nbsp;>&nbsp;1 ialah hasil darab nombor-nombor perdana yang mempunyai dua perwakilan:
:<math>
\begin{align}
s
&=p_1 p_2 \cdots p_m \\
&=q_1 q_2 \cdots q_n.
\end{align}
</math>
 
Kita perlu tunjukkan bahawa ''m''&nbsp;=&nbsp;''n'' dan ''q''<sub>''j''</sub> adalah susunan semula ''p''<sub>''i''</sub>.
 
Mengikut [[lema Euclid]], ''p''<sub>1</sub> pasti membahagi salah satu daripada ''q''<sub>j</sub>; labelkan semula ''q''<sub>''j''</sub> jika perlu, katakanlah yang ''p''<sub>1</sub> membahagi ''q''<sub>1</sub>. Tetapi ''q''<sub>1</sub> adalah nombor perdana, maka pembahaginya hanyalah 1 dan angka itu sendiri. Maka, ''p''<sub>1</sub> = ''q''<sub>1</sub>, lantas
:<math>
\begin{align}
\frac{s}{p_1}
&=p_2 \cdots p_m \\
&=q_2 \cdots q_n.
\end{align}
</math>
 
Menggunakan taakulan yang sama, ''p''<sub>2</sub> pasti sama dengan salah satu daripada ''q''<sub>''j''</sub> yang tinggal. Dengan melabel semula jika perlu, katalah ''p''<sub>2</sub> = ''q''<sub>2</sub>. Kemudian
 
:<math>
\begin{align}
\frac{s}{p_1 p_2}
&=p_3 \cdots p_m \\
&=q_3 \cdots q_n.
\end{align}
</math>
 
Ini boleh dilakukan untuk setiap satu ''p''<sub>''i''</sub> ''m'', menunjukkan bahawa ''m'' ≤ ''n'' dan setiap ''p''<sub>''i''</sub> ialah ''q''<sub>''j''</sub>. Dengan menggunakan hujah yang sama dengan <math>p</math> dan <math>q</math> diterbalikkan, boleh ditunjukkan bahawa ''n'' ≤ ''m'' (oleh itu ''m'' = ''n'') dan setiap ''q''<sub>''j''</sub> ialah ''p''<sub>''i''</sub>.
 
==Nota==
{{reflist}}
1,094

suntingan