Bukti matematik: Perbezaan antara semakan

Kandungan dihapus Kandungan ditambah
Kururubot (bincang | sumb.)
k Link FA & GA kini dikendalikan oleh Wikidata.
k Bot: perubahan kosmetik
Baris 1:
Dalam [[matematik]], '''bukti''' ialah demonstrasi yang meyakinkan (dalam piawaian yang diterima untuk bidang tersebut) untuk membuktikan kebenaran beberapa pernyataan bermatematik.<ref name="nutsandbolts">Cupillari, Antonella. ''The Nuts and Bolts of Proofs''. Academic Press, 2001. Page 3.</ref><ref>Gossett, Eric. ''Discrete Mathematics with Proof''. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7</ref> Bukti tidak akan diperolehi dengan [[taakulan induktif]] atau hujah [[empirikal]], tetapi dengan [[taakulan deduktif]]. Ini bermaksud, satu bukti mesti menunjukkan yang satu pernyataan itu benar dalam semua kes, tanpa sebarang pengecualian. Proposisi yang tidak dibuktikan tetapi dipercayai benar, dikenali sebagai [[konjektur]].
Pernyataan yang telah dibuktikan sering dipanggil [[teorem]]. <ref name="nutsandbolts"/> . Apabila satu teorem telah dibuktikan , ia boleh digunakan sebagai asas untuk membuktikan pernyataan-pernyataan yang lain. Satu teorem boleh juga dirujuk sebagai [[lema]], terutamanya jika ia hendak digunakan sebagai batu loncatan dalam pembuktian teorem yang lain.
Bukti menggunakan [[logik]], tetapi selalunya mengandungi juga beberapa [[bahasa asli]] yang biasanya mempunyai kesamaran. Sebenarnya, sebahagian besar bukti-bukti dalam matematik bertulis boleh dianggap sebagai aplikasi [[logik tak formal]] yang keras. [[Bukti formal]] yang tulen yang ditulis dalam bahasa simbolik, bukan bahasa asli, akan diterima dalam [[teori bukti]]. Perbezaan antara bukti formal dan tak formal telah membawa kepada banyak penyelidikan tentang amalan matematik, kuasi empirisisme dalam matematik, dan [[matematik lisan]] yang digunakan dulu dan sekarang. [[Falsafah matematik]] mengambil berat tentang peranan bahasa dan logik dalam bukti-bukti dan matematik sebagai satu bahasa.
== Sifat ==
Terdapat dua konsepsi yang berbeza untuk bukti matematik. <ref>Buss, 1997, p. 3</ref>
Pertamanya ialah bukti tidak formal, iaitu ungkapan rapi bahasa asli yang bertujuan untuk meyakinkan khalayak akan kebenaran sesebuah teorem. Oleh kerana penggunaan bahasa asli ini, piawai kerapian untuk bukti tidak formal akan bergantung pada khalayak bukti tersebut. Walau bagaimanapun, untuk dianggap sebagai satu bukti, hujah tersebut mestilah cukup rapi; kerana hujah yang samar atau tidak lengkap adalah tidak layak menjadi bukti. Bukti tidak formal ialah bukti yang biasa dijumpai dalam penerbitan matematik. Ia kadang-kadang dipanggil "bukti formal" kerana kerapiannya, tetapi ahli logik menggunakan istilah "bukti formal" untuk merujuk kepada satu jenis bukti yang berbeza sepenuhnya.
Dalam logik, [[bukti formal]] tidak ditulis dalam bahasa asli, sebaliknya menggunakan [[bahasa formal]] yang terdiri daripada rantaian simbol tertentu dari abjad tetap. Ini membenarkan pentakrifan bukti formal ditentukan tanpa sebarang kesamaran. Bidang [[teori bukti]] mengkaji bukti formal dan sifat-sifatnya. Walaupun secara teori, setiap bukti tidak formal boleh ditukar menjadi bukti formal, ia jarang dilakukan. Pengkajian bukti formal digunakan untuk menentukan sifat-sifat kebolehbuktian secara umumnya, dan untuk menunjukkan pernyataan tertentu tidak boleh dibuktikan.
== Kaedah bukti ==
=== Bukti langsung ===
Dalam bukti langsung, kesimpulan dihasilkan dengan menggabungkan secara logik aksiom-aksiom, definisi-definisi, dan teorem-teorem yang lebih awal.<ref>Cupillari, page 20.</ref> Contohnya, bukti langsung boleh diguna untuk menentukan yang hasil tambah dua [[integer]] [[nombor genap|genap]] akan sentiasa genap:
:Bayangkan dua integer genap ''x'' and ''y''. Oleh kerana keduanya adalah genap, ia boleh ditulis sebagai ''x''=2''a'' dan ''y''=2''b'' secara berturutan untuk integer ''a'' dan ''b''. Kemudian hasil tambah <math>x+y = 2a + 2b = 2(a+b)</math>. Dari sini, ia jelas yang ''x''+''y'' memiliki 2 sebagai faktor dan juga merupakan integer genap, maka hasil tambah untuk sebarang dua integer genap akan menghasilkan integer genap juga.
Bukti ini menggunakan definisi integer genap, dan juga [[ketaburan|hukum taburan]].
 
=== Bukti menerusi aruhan matematik ===
Dalam pembuktian menerusi aruhan matematik, mulanya "kes dasar" akan dibuktikan, dan kemudian "petua aruhan" akan digunakan untuk membuktikan siri (biasanya yang tak terhingga) untu kes yang lain. <ref>Cupillari, page 46.</ref> Oleh kerana kes dasar adalah benar, ketakterhinggaan kes yang lain mesti juga benar, walaupun jika semuanya tidak boleh dibuktikan secara terus disebabkan nombor tak terhingga mereka.
Prinsip aruhan matematik menyatakan yang:
Biar ''N'' = { 1, 2, 3, 4, ... } menjadi set nombor asli dan '''''P(''n'')''''' menjadi pernyataan matematik yang melibatkan nombor ''n'' yang terdapat dalam '''N'''
* '''''(i)''''' ''P''(1) adalah benar, i.e., ''P''(''n'') adalah benar untuk ''n'' = 1
* '''''(ii)''''' ''P''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) adalah benar bila mana ''P''(''n'') adalah benar, i.e., ''P''(''n'') adalah benar menunjukkan yang ''P''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) adalah benar.
Baris 37:
:Samada <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> adalah nombor nisbah dan kita sudah selesaikannya (take <math>a=b=\sqrt{2}</math>), atau <math>\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> adalah nombor tak nisbah, maka kita boleh mencatat <math>a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}</math> dan <math>b=\sqrt{2}</math>. Ini kemudian menghasilkan <math>\left (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right )^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2</math> yang merupakan nombor nisbah untuk <math>a^b.</math>
=== Bukti visual ===
Walaupun ia secara rasminya bukan satu bukti, demonstrasi visual untuk teorem matematik kadang-kadang dipanggil "bukti tanpa perkataan". Gambar berikut merupakan contoh bersejarah bukti visual untuk [[teorem Pythagoras]] dan kes [[segi tiga]] (3,4,5).
<gallery>
Image:Chinese pythagoras.jpg|Bukti visual untuk segi tiga (3, 4, 5) di dalam [[Chou Pei Suan Ching]] 500–200&nbsp;SM.
Baris 47:
 
=== Bukti dua lajur ===
[[Fail:twocolumnproof.png|thumb|rightkiri|Bukti dua lajur yang diterbitkan pada 1913]]
Bentuk bukti tertentu yang menggunakan dua lajur selari sering digunakan dalam kelas geometri asas di [[Amerika Syarikat]].<ref>Patricio G. Herbst, Establishing a Custom of Proving in American School Geometry: Evolution of the Two-Column Proof in the Early Twentieth Century, Educational Studies in Mathematics, Vol. 49, No. 3 (2002), pp. 283-312, </ref> Bukti ini ditulis dalam bentuk siri garisan dalam dua lajur. Dalam setiap garisan, lajur bahagian kiri mengandungi satu proposisi, sementara lajur bahagian kanan mengandungi penerangan ringkas tentang samada proposisi itu adalah aksiom, hipotesis, atau boleh secara logik diterbitkan dari proposisi sebelumnya. Lajur di bahagian kiri selalunya diberi tajuk "pernyataan" dan bahagian kanan diberi tajuk "taakulan".<ref>[http://www.onemathematicalcat.org/Math/Geometry_obj/two_column_proof.htm Introduction to the Two-Column Proof], Carol Fisher</ref>
=== Bukti statistik dalam matematik tulen ===
Ungkapan "bukti statistik" mungkin digunakan secara teknikal atau bahasan dalam bidang-bidang [[matematik tulen]], seperti yang melibatkan [[kriptografi]] dan [[teori nombor]] yang berkebarangkalian atau analitik.<ref>“dalam teori nombor dan algebra bertukar tertib... khususnya bukti statistik untuk lema.” [http://www.jstor.org/pss/2686395]</ref><ref>“Samada π tetap (i.e., pi) adalah normal merupakan masalah yang mengelirukan tanpa sebarang demonstari teori kecuali beberapa '''bukti''' statistik””[http://www.springerlink.com/content/nj34v59p71m11125/]</ref><ref> Pemerhatian ini mendapati bukti statistik kepada konjektur Goldbach dengan kebarangkalian silap yang cepat hilang untuk E besar” [http://people.web.psi.ch/gassmann/eneseminare/abstracts/Goldbach1.pdf]</ref>. Istilah ini jarang digunakan untuk merujuk kepada bukti matematik dalam cabang matematik yang dikenali sebagai [[statistik matematik]].
=== Bukti bantuan komputer ===
Sehingga kurun ke-20, sebarang bukti dianggap secara prinsipnya boleh diperiksa oleh ahli matematik yang cekap untuk menentukan kesahihannya. .<ref name="Krantz">[http://www.math.wustl.edu/~sk/eolss.pdf The History and Concept of Mathematical Proof], Steven G. Krantz. 1. February 5, 2007</ref> Bagaimanapun, sekarang komputer digunakan untuk membuktikan teorem dan juga untuk menyelesaikan pengiraan yang terlalu panjang untuk manusia lakukan; bukti pertama untuk [[teorem empat warna]] adalah contoh bukti bantuan komputer. Beberapa ahli matematik mengambil berat akan kemungkinan ralat di dalam program komputer atau ralat masa jalanan dalam pengiraannya, menyebabkan kesahihan bukti bantuan komputer ini boleh dipersoalkan. Realitinya, kebarangkalian ralat mentaksahkan bukti bantuan komputerr boleh dikurangkan dengan memasukkan semak lawahan dan semak sendiri dalam pengiraan, dan dengan membangunkan beberapa pendekatan dan program bebas.
 
== Rujukan ==