Geometri Euclid: Perbezaan antara semakan

'''Geometri Euclid''' merupakan sebuah sistem matematik yang disumbangkan oleh seorang [[Ahli matematik|ahli matematik]] [[Yunani]] bernama [[Euclid]] dari [[Iskandariah|Alexandria]]. Teks Euclid, ''[[Elements(Karya Euclid)|Elements]]'' merupakan sebuah kajian sistematik yang terawal mengenai [[Geometri|geometri]]. Ia sudah menjadi salah satu buku-buku yang paling berpengarh di dalam sejarah, sama banyaknya dengan kaedahnya yang mempunyai isi kandungan matematik. Kaedah cara yang mengandungi andaian satu set [[aksiom]] secara intuitif yang sangat menarik, dan kemudiannya membuktikan banyak [[usul]] ([[Teoremteorem|teorem-teorem]]) daripada aksiom-aksiom berkenaan. Walaupun banyak daripada keputusan-keputusan oleh Euclid sudahnsudah dinyatakan oleh ahli-ahli matematik Yunani sebelumnya, Euclid merupakan orang yang pertama untuk menunjukkan bagaimana usul-usul ini diletakkan secara sempurna membentuk satu deduksi dan [[Sistem logik|sistem logik]] yang komprehensif.

Buku ''Elements'' ini bermula dengan [[Geometrisatah Satah(matematik)|geometri satah]], yang masih lagi diajar di [[Sekolah Menengah|sekolah menengah]] sebagai satu [[Sistem aksiomatik|sistem aksiomatikaksioman]] dan contoh-contoh [[Pembuktianpembuktian matematik|pembuktian formal]] yang pertama. Kemudiannya, ''Elements'' merangkumi [[Geometri pepejal|geometri pepejal]] dalam tiga [[Dimensi|dimensi]], dan seterusnya geometri Euclid telah dipanjangkan kepada satu bilangan [[Dimensi|dimensi]] yang terhingga . Kebanyakan daripada ''Elements'' menyatakan keputusan-keputusan dalam apa yagyang dikatakankini disebut sebagai [[Teori Nombor|teori nombor]], yang boleh dibuktikan menerusi kaedah geometri.

Selama dua ribu tahun , kata adjektif "EuclideanEuclid" tidak diperlukan kerana pada masa itu tiada geometri lain dapat dibayangkan. Aksiom-aksiom Euclid nampak seperti sangat jelas sehinggakan apa-apa teorem lain yang dibuktikan daripadanya dianggap benar secara mutlak. Hari ini, bagaimanapun, banyak [[Geometri bukan Euclid|geometri bukan Euclid]] sudah diketahui, yang pertamanya telah dijumpai pada awal abad ke-19. Ia juga tidak boleh diambil mudah bahawa geometri Euclid hanya menggambarkan ruang fizikal. Satu implikasi daripada teori [[Einstein]] mengenai teori [[Relativitikerelatifan Umumam|relativitikerelatifan umum]] bahawa geometrygeometri Euclid merupakan satu anggaran yang baik kepada sifat-sifat ruang fizikal hanyak sekiranya is a good approximation to the properties of physical space only if the [[Gravitigraviti|medan graviti]] tidak terlalu kuat.

== Pendekatan Aksiomatikaksioman ==

Geometri Euclid merupakan satu [[Sistem aksiomatik|sistem aksiomatikaksioman]], yang manakmana semua [[teorem]] ("penyataan benar") adalah diambil daripada satu bilangan aksiom-aksiom yang terhingga. Pada permulaan buku ''Elements'' yang pertama, Euclid memberikan lima [[postulat]] (aksiom):

# Apa-apa dua [[Titiktitik (geometri)|titik]] boleh dihubungkan dengan satu [[Garis lurus|garis lurus]].

# Apa-apa [[Temberengtembereng Garisgaris|tembereng garis lurus]] boleh dipanjangkan di dalam satu garis lurus.

# Satu [[Bulatan|bulatan]] boleh dilukis dengan menggunakan satu garis lurus sebagai [[Jejari|jejari]] dan satu lailagi titik hujung sebagai pusat.

# Semua [[Sudut serenjang|sudut serenjang]] adalah [[Kongruenkongruen (geometri)|kongruen]].

# [[Postulat Selari|Postulat selari]]. Jika dua garis bersilangan dengan yang ketiga dalam satu cara yang jumlah sudut dalaman adalah kurang daripada satu lagi, maka dua garis ini mesti bersilangan di atas satu sama lain sekiranya dipanjangkan secukupnya.

Aksiom-aksiom ini menggunakan konsep-konsep berikut: titik, tembereng garis lurus dan garis, sebahagian daripada satu garis, bularan dengan jejari dan pusat, sudut serenjang, kongruen, sudut-sudut dalaman dan serenjang, jumlah. Kata-kata kerja yang berikut muncul: sambung, dipanjangkan, lukis, silang. Bulatan ini digambarkan dengan menggunakan postulat 3 adalah sangat unik. Postulat-postulat 3 dan 5 hanya boleh digunakan untuk geometri satah; dalam tiga dimensi, postulat 3 mendefinasikanmentakrifkan suatu bulatan.

[[Image:euclid-proof.jpg|thumb|350px|Satu bukti daripada buku Euclid "Elements" bahawa apabila dibeikandiberikan satu tembereng garis, satu segitiga sama wujud termasuklah tembereng sebagai salah satu daripada tiga sisi. Buktinya adalah dengan cara binaan: Satu segitiga sama ΑΒΓ dibuat dengan melukis bulatan Δ dan Ε berpusat pada titik-titik Α dan Β, dan dengan mengambil satu persilangan bulatan sebagai puncak sudut ketiga bagi segitiga tersebut.]]

Postulat-postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahawa kewujudan dan keunikan rajah-rajah geometri, dan peegasan ini adalah satu binaan semulajadi: iaitu, kita tidak diberitahu bahawa ada perkara tertentu wujud, tetapi kaedah-kaedah diberi untuk mencipta dengan tidak lebih daripada satu [[kompas dan pinggiran lurus|kompas dan satu pinggiran lurus yang tidak bertanda]]. Dalam kes ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem-sistem aksiom moden seperti [[teori set]], yang mana kebiasaannya menegaskan kewujudan objek-objek tanpa mengatakan bagaimana untuk membina mereka, atau menegaskan kewujudan objek-objek yang tidak boleh dibina di dalam ruang teori berkenaan.

Sebenarnya, binaan-binaan garis di atas kertas dan sebagainya adalah ''[[Modelmodel|model-model]]'' objek yang lebih baik didefinasikanditakrifkan di dalam sistem formal , daripada hanya contoh-contoh objek berkenaan. Sebagai contoh, satu garis lurus Euclid tidak mempunyai lebar, tetapi apa-apa garis yang benar akan menjadi lebar.

Euclid juga menggunakan sifat-sifat lain yang berkaitan dengan [[magnitud (matematik)|magnitud]]. 1 adalah satu-satunya bahagian daripada dasar logik yang Euclid lahirkan dengan terang dan jelas. 2 dan 3 adalah prinsip-prinsip "aritmetik"; perhatikan bahawa makna-makna "tambah" dan "tolak" di dalam konteks geometri asli ini telah diberi sama seperti diambil. 1 hingga 4 secara definasitakrifan mempunyai [[Persamaanpersamaan (matematik)|persamaan]], yang mana boleh juga diambil sebagai bahagian pendasaran logik atau sebagai satu keperluan [[hubungan kesetaraan ]], seperti "pertembungan," definisi yang sangat teliti. 5 adalah satu prinsip [[mereologi]]. "Keseluruhan", "sebahagian", dan "baki" memerlukan definasitakrifan yang tepat.