Logaritma asli

Dalam bidang matematik, logaritma asli ialah logaritma asas $e$, di mana $e$ ialah pemalar bukan nisbah dengan anggaran nilai 2.718 281 828. Logaritma asli lazimnya ditulis $\ln(x)$, $\log _{e}(x)$ atau kadang-kadang, jika asas $e$ adalah implisit, sekadar $\log(x)$.

Logaritma asli bagi sebarang nombor $x$ (ditulis $\ln(x)$) ialah nombor kuasa bagi $e$ untuk memperoleh $x$. Sebagai contoh, $\ln(7.389...)$ sama dengan 2, kerana $e^{2}=7.389...$. Logaritma asli bagi $e$ itu sendiri ($\ln(e)$) ialah 1 kerana $e^{1}=e$, manakala logaritma asli bagi 1 ($\ln(1)$) ialah 0, kerana $e^{0}=1$.

Takrif

$\ln(x)$ ditakrifkan sebagai luas di bawah lengkung $f(x)={\frac {1}{x}}$ dari 1 ke $x$.

Takrif logaritma asli secara formal ialah luas di bawah graf ${\frac {1}{x}}$ dari 1 ke $a$, iaitu kamiran,

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Ini adalah takrif logaritma kerana mematuhi sfat asas logaritma:

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!$

Ini boleh ditunjukkan dengan mengandaikan $t={\tfrac {x}{a}}$ seperti berikut:

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)$

Nombor $e$ ditakrifkan sebagai suatu nombor nyata unik di mana $\ln(a)=1$.

Secara alternatif, jika fungsi eksponen telah ditakrifkan terlebih dahulu menggunakan siri tak terhingga, logaritma asli boleh ditakrifkan sebagai fungsi songsangnya, iaitu ln ialah fungsi di mana $e^{\ln(x)}=x\!$. Oleh kerana julat fungsi eksponen bagi argumen-argumen nyata ialah semua nombor nyata positif, dan fungsi eksponen meningkat secara khusus, yang demikian adalah tertakrif rapi bagi semua $x$ yang positif.

Sifat-sifat

Berikut ialah sifat-sifat logaritma asli:

• $\ln(1)=0\,$

• $\ln(-1)=i\pi \quad \,$ (lihat logaritma kompleks)

• $\ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {for}}\quad 0<x<y\;$

• ${\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {for}}\quad h>-1\;$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,$