Masalah pembenaman Connes

Masalah pembenaman Connes, dirumuskan oleh Alain Connes pada tahun 1970-an, merupakan masalah utama dalam teori algebra von Neumann. Sepanjang tempoh itu, masalah itu dirumuskan dalam beberapa bidang matematik yang berbeza. Dan Vioculescu membangunkan teori entropi bebasnya mendapati bahawa masalah pembenaman Connes berkaitan dengan keberadaan keadaan mikro. Beberapa hasil teori algebra von Neumann dapat memperolehi penyelesaian positif dengan masalahnya. Masalah ini dihubungkan dengan beberapa persoalan asas dalam teori kuantum, yang mengarah ke realisasi bahawa ini juga memberikan implikasi yang penting dalam sains komputer.

Masalahnya mengakui jumlah perumusan setara. Terutama, ini setara dengan masalah yang sudah lama terjadi berikut:

• Konjektur QWEP Kirchberg dalam teori algebra-C*
• Masalah Tsirelson dalam teori maklumat kuantum
• Pra-ganda suatu algebra von Neumann (dipisahkan) jelas diwakili dalam kelas teras.

Pada Januari 2020, Ji, Natarajan, Vidick, Wright, dan Yuen mengumumkan hasil dalam teori kekompleksan kuantum yang menyiratkan jawapan negatif untuk masalah pembenaman Connes.

Kenyataan

Misalkan $\omega$ menjadi sebuah ultratapis bebas pada bilangan asal dan misalkan $R$ menjadi faktor jenis II₁ hiperhingga dengan teras $\tau$. Salah satunya dapat membangun ultrakuasa $R^{\omega }$ sebagai berikut:

Misalkan

$l^{\infty }(R)=\{(x_{n})_{n}\subseteq R:\sup _{n}||x_{n}||<\infty \}$

menjadi algebra von Neumann mengenai barisan terbatas bernorma dan misakan

$I_{\omega }=\{(x_{n})\in l^{\infty }(R):\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}^{*}x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}$.

Hasil bagi $R^{\omega }={\frac {l^{\infty }(R)}{I_{\omega }}}$ ternyata menjadi sebuah faktor II₁ dengan teras

$\tau _{R^{\omega }}(x)=\lim _{n\rightarrow \omega }\tau (x_{n}+I_{\omega })$

dimana $(x_{n})_{n}$ ialah suatu barisan wakilan $x$.

Masalah pembenaman Connes menanyakan apakah setiap faktor jenis II₁ pada ruang Hilbert dipisahkan dapat dibenamkan menjadi suatu $R^{\omega }$.

Penyelesaian positif untuk masalahnya akan menyiratkan subruang invarian ada untuk sebuah kelas besar mengenai pengendali dalam faktor II-1 (Uffe Haagerup); semua kumpulan diskret tercacahkan ialah hiperlinear. Sebuah penyelesaian positif untuk masalahnya akan menyiratkan oleh persamaan antara entropi bebas $\chi ^{*}$ dan entropi bebas didefinisikan oleh keadaan mikro (Dan Voiculescu). Pada Januari 2020, kumpulan penyelidik dikatakan telah menyelesaikan masalah dalam negatifnya, iaitu, terdapat faktor von Neumann jenis II₁ yang tidak dapat dibenamkan dalam sebuah ultrakuasa $R^{\omega }$ dari faktor hiperhingga II₁.

Kelas isomorfisme $R^{\omega }$ ialah bebas dari ultratapis jika dan hanya jika hipotesis kontinum oalah benar (Ge-Hadwin dan Farah-Hart-Sherman), tetapi seperti sebuah sifat pembenaman tidak bergantung pada ultratapis kerana algebra von Neumann bertindak pada ruang Hilbert dipisahkan, bahasa kasarnya, sangat kecil.

Masalahnya mengakui jumlah perumusan setara.

Persidangan ditujukan kepada masalah pembenaman Connes

• Connes' embedding problem and quantum information theory workshop; Universiti Vanderbilt di Nashville Tennessee; 1–7 Mei, 2020 (ditunda; Akan diumumkan)
• The many faceted Connes' Embedding Problem; BIRS, Kanada; 14–19 Julai, 2019
• Winter school: Connes' embedding problem and quantum information theory; 7–11 Januari, 2019
• Workshop on Sofic and Hyperlinear Groups and the Connes Embedding Conjecture; UFSC Florianopolis, Brazil; 10–21 Jun 2018
• Approximation Properties in Operator Algebras and Ergodic Theory; UCLA; 30 April–5 Mei, 2018
• Operator Algebras and Quantum Information Theory; Institut Henri Poincare, Paris; Disember 2017
• Workshop on Operator Spaces, Harmonic Analysis and Quantum Probability; ICMAT, Madrid; 20 Mei–14 Jun, 2013
• Fields Workshop around Connes Embedding Problem – University of Ottawa, 16–18 Mei, 2008

Bacaan lanjut

• Capraro, Valerio (2010). "A Survey on Connes' Embedding Conjecture". arXiv:1003.2076 [math.OA].
• Farah, I.; Hart, B.; Sherman, D. (2013). "Model theory of operator algebras I: stability". Bulletin of the London Mathematical Society. 45 (4): 825–838. arXiv:0908.2790. doi:10.1112/blms/bdt014.
• Ge; Hadwin (2001). "Ultraproducts of C*-algebras". Oper. Theory Adv. Appl. 127: 305–326. doi:10.1007/978-3-0348-8374-0_17.
• Collins, Benoıt; Dykema, Ken (2008). "A linearization of Connes' embedding problem" (PDF). New York Journal of Mathematics. 14: 617–641.
• (2008). "Notes on Automorphisms of Ultrapowers of II₁ Factors". Department of Mathematics, University of Virginia.
• Pisier, Gilles. "Tensor products of C*-algebras and operator spaces: The Connes-Kirchberg problem" (PDF).