Nisbah keemasan

Dalam matematik dan seni, dua kuantiti berada dalam nisbah keemasan sekiranya nisbah hasil tambah kuantiti-kuantiti itu kepada kuantiti yang lebih besar adalah setara dengan nisbah kuantiti yang lebih besar kepada kuantiti yang lebih kecil. Nisbah keemasan adalah pemalar matematik tak nisbah, bernilai lebih kurang 1.6180339887.^[1] Sebutan lain yang sering digunakan untuk nisbah keemasan adalah seksyen keemasan (Latin: sectio aurea) dan purata keemasan.^[2]^[3]^[4] Istilah lain yang biasa ditemui termasuklah nisbah lampau dan purata,^[5] seksyen pertengahan, perkadaran Ilahi, seksyen Ilahi (Latin: sectio divina), perkadaran keemasan, potongan keemasan,^[6] nombor keemasan, dan purata Phidias.^[7]^[8]^[9] Dalam rencana ini, nisbah keemasan diwakili oleh huruf kecil Yunani, phi ( $\varphi \,$ ) , manakala angka silangannya $1/\varphi \,$ atau $\varphi ^{-1}\,$ , diwakili oleh huruf besar Phi, ( $\Phi \,$ ).

Sebuah segi empat tempat keemasan dengan sisi yang panjang a dan sisi pendek b, apabila ditempatkan bersebelahan dengan segi empat sama dengan sisi-sisi berkepanjangan a, akan menghasilkan sebuah segi empat tepat keemasan yang serupa dengan sisi panjang **a + b** dan sisi pendek a. Ini menggambarkan hubungan ${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \varphi$ .

Rajah di sebelah kanan menunjukkan hubungan geometri yang mentakrifkan pemalar ini. Secara algebra diungkapkan sebagai:

{\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \varphi \,.

Persamaan ini mempunyai satu penyelesaian positif dalam nombor tak nisbah algebra:

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\ldots \,

^[1]

Sekurang-kurangnya sejak Renaissance^{[perlu rujukan]}, ramai artis dan arkitek menyeimbangkan karya-karya mereka kira-kira pada nisbah keemasan-terutamanya dalam bentuk segi empat tepat keemasan, yang nisbah sisi yang lebih panjang pada yang lebih pendek adalah nisbah keemasan- dengan memercayai^{[perlu rujukan]} perkadaran ini memberikan kesenangan estetik. Ahli matematik telah mengkaji nisbah keemasan kerana sifat-sifatnya unik dan menarik.

Satu segi empat tepat keemasan dengan sisi yang lebih panjang a dan sisi yang lebih pendek b, apabila diletakkan bersebelahan dengan satu segi empat yang kesemua sisinya dengan kepanjangan a, akan menghasilkan satu segi empat tepat keemasan serupa dengan sisi yang lebih panjang **a + b** dan sisi yang lebih pendek a. Ini menunjukkan hubungan ${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \varphi \,.$

Pengiraan sunting


Perduaan	1.1001111000110111011…
Perpuluhan	1.6180339887498948482…
Perenambelasan	1.9E3779B97F4A7C15F39…
Pecahan bersambungan	$1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}$
Bentuk algebra	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$
Siri tak terhingga	${\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}}$

Dua kuantiti a dan b dapat dikatakan berada dalam nisbah keemasan φ jika:

{\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.

Persamaan ini dengan jelas mentakrifkan φ.

Pecahan di sebelah kiri dapat dialih kepada: $1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.$

Pendaraban dengan φ menghasilkan

\varphi +1=\varphi ^{2},

yang dapat disusun semula menjadi

{\varphi }^{2}-\varphi -1=0.

Satu-satunya penyelesaian positif bagi persamaan kuadratik ini ialah

\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\dots \,

Sejarah sunting

Ahli matematik Mark Barr telah mencadangkan penggunaan huruf pertama bagi nama pengarca Yunani Phidias, phi, untuk mewakili nisbah keemasan. Kebiasaannya, huruf kecil (φ) yang digunakan. Kadang-kala huruf besar (Φ) digunakan bagi angka silangan nisbah keemasan, 1/φ.^[10]

Nisbah keemasan telah mempesonakan intektual Barat dari pelbagai minat untuk sekurang-kurangan 2400 tahun. Menurut Mario Livio:

Beberapa pemikir matematik terhebat dalam semua zaman, daripada Pythagoras dan Euclid pada zaman Yunani Purba, melalui ahli matematik Itali Zaman Pertengahan Leonardo of Pisa dan ahli astronomi Renaissance Roger Penrose, telah menghabiskan masa yang panjang semata-mata mengkaji nisbah yang ringkas ini dan sifat-sifatnya.
Tetapi pesona terhadap Nisbah Keemasan tidak terhad kepada ahli matematik sahaja. Ahli biologi, pelukis, pemuzik; ahli sejarah, arkitek, ahli psikologi, malahan pengamal ilmu mistik turut memikir dan memperkatakan asas keberadaan dan daya tarikannya. Memang benar, adalah adil untuk mengatakan bahawa Nisbah Keemasan telah memberi inspirasi kepada para pemikir dalam semua disiplin berbanding nombor lain dalam sejarah matematik.
^[11]

Ahli-ahli matematik Yunani Purba adalah yang pertama mengkaji apa yang kita panggil nisbah keemasan kerana kerap muncul dalam geometri. Pembahagian satu garisan kepada "nisbah yang lampau dan purata" (seksyen keemasan) adalah penting dalam geometri pentagram dan pentagon tetap. Orang Yunani lazimnya mengaitkan penemuan konsep ini dengan Pythagoras atau para pengikutnya. Pentagram tetap yang mmepunyai satu pentagon tetap yang tertera di dalamnya merupakan simbol pengikut Pythagoras.

Elements (bahasa Yunani: Στοιχεῖαcode: grc is deprecated ) karangan Euclid memberikan takrifan bertulis yang pertama mengenai apa yang kini dinamakan sebagai nisbah keemasan: "Satu garisan lurus dikatakan terpotong dalam nisbah lampau dan purata apabila keseluruhan garisan itu pada bahagian yang lebih besar, begitu juga yang lebih besar pada yang kurang."^[5] Euclid menjelaskan binaan bagi pemotongan (pembahagian) satu garisan " dalam nisbah yang lampau dan purata", yakni nisbah keemasan.^[12] Di serata tempat dalam Elements, beberapa dalil (teorem dalam istilah moden) dan pembuktiannya menggunakan nisbah keemasan.^[13] Sebahagian dalil-dalil ini menunjukkan bahawa nisbah keemasan adalah nombor tak nisbah.

"Nisbah lampau dan purata" merupakan istilah utama yang digunakan dari kurun ke-3 SM^[5] hingga kurun ke-18 M.

Sejarah moden nisbah keemasan bermula dengan De divina proportione tulisan Luca Pacioli pada tahun 1509, yang memukau ramai pelukis, arkitek, ahli sains, dan ahli mistik dengan sifat-sifat nisbah keemasan.

Michael Maestlin, orang pertama yang menerbitkan anggaran perpuluhan nisbah keemasan pada tahun 1597.

Anggaran pertama yang diketahui mengenai (angka silangan) nisbah keemasan dengan pecahan perpuluhan, dinyatakan sebagai "kira-kira 0.6180340," telah ditulis pada tahun 1597 oleh Michael Maestlin dari University of Tübingen di dalam sepucuk surat kepada bekas pelajarnya Johannes Kepler.^[14]

Sejak kurun ke-20, nisbah keemasan telah diwakili oleh abjad Yunani Φ atau φ (phi, bersempena Phidias, seorang pengarca yang dikatakan telah menggunakannya) atau kurang lazim oleh τ (tau, huruf pertama Yunani Purba kata akar τομή—yang bererti potong).^[2]^[15]

Garis masa sunting

Garis masa menurut Priya Hemenway.^[16]

Phidias (490–430 SM) membina patung-patung Parthenon yang kelihatan mengandungi nisbah keemasan.
Plato (427–347 SM), dalam Timaeusnya mengambarkan lima pepejal tetap yang mungkin (Pepejal Plato):tetrahedron, kubus, oktahedron, dodekahedron dan ikosahedron, sesetengahnya yang berkait rapat dengan nisbah keemasan.^[17]
Euclid (c. 325–c. 265 SM), dalam Elements, mencatatkan takrifan terawal nisbah keemasan yang disebutkannya sebagai "nisbah lampau dan purata" (bahasa Yunani: ἄκρος καὶ μέσος λόγος).^[5]
Fibonacci (1170–1250) menyebutkan siri nombor yang kini dinamakan sempenanya dalam Liber Abaci; nisbah bagi unsur-unsur berjujukan dalam nombor Fibonacci mendekati nisbah keemasan secara simptot.
Luca Pacioli (1445–1517) mentakrifkan nisbah keemasan sebagai "perkadaran Ilahi" dalam bukunya, Divina Proportione.
Johannes Kepler (1571–1630) membuktikan bahawa nisbah keemasan adalah batas bagi nisbah nombor Fibonacci yang berjujukan,^[18] dan menggambarkan nisbah keemasan sebagai "permata berharga": "Geometri mempunyai dua khazanah agung: satu adalah Theorem Pythagoras, dan yang satu lagi adalah pembahagian satu garisan kepada nisbah yang lampau dan purata; kita boleh bandingkan yang pertama untuk menyukat emas, manakala yang kedua untuk batu permata." Kedua-dua harta ini digabungkan dalam segitiga Kepler.
Charles Bonnet (1720–1793) menyatakan bahawa terdapat dua siri Fibonacci berturutan yang kerap dalam filotaksis pilin bagi tumbuh-tumbuhan yang bergerak arah jam dan lawan arah jam.
Martin Ohm (1792–1872) dipercayai menjadi orang pertama yang menggunakan istilah goldener Schnitt (seksyen keemasan) untuk menggambarkan nisbah ini pada tahun 1835.^[19]
Edouard Lucas (1842–1891) memberi nama kepada jujukan nombor yang kini dikenali sebagai jujukan Fibonacci.
Mark Barr (kurun ke-20) mencadangkan abjad Yunani phi (φ), huruf besar bagi nama pengarca Yunani Phidias sebagai satu simbol bagi nisbah keemasan.

^[20]

Roger Penrose (l.1931) menemui corak simetri yang menggunakan nisbah keemasan dalam bidang jubin tak berkala yang membawa kepada penemuan baru mengenai kuasikristal

Penggunaan dan pemerhatian sunting

Estetik sunting

Lihat juga: Sejarah estetik (pra-kurun ke-20)

De Divina Proportione, sebuah karya tiga jilid oleh Luca Pacioli telah diterbitkan pada tahun 1509. Pacioli, seorang rahib Franciscan, amat dikenali sebagai seorang ahli matematik, namun dia juga terlatih dan amat berminat dengan seni. De Divina Proportione menerokai matematik nisbah keemasan. Walaupun kerap dikatakan bahawa Pacioli mendukung penggunaan nisbah keemasan untuk memberikan perkadaran yang menyenangkan dan harmoni, Livio menegaskan bahawa penafsiran itu berdasarkan satu kesilapan pada tahun 1799, dan bahawa Pacioli sebenarnya mendukung sistem Vitruvian bagi perkadaran nisbah.^[2] Pacioli juga nampak kepentingan keagamaan Katolik dalam nisbah itu, yang menyumbang pada judul karyanya. Mengandungi gambarajah-gambarajah bongkah sekata oleh Leonardo Da Vinci, kawan lama dan rakan usaha sama Pacioli, De Divina Proportione memberi pengaruh besar terhadap generasi pelukis dan juga arkitek.^{[perlu rujukan]}

Senibina sunting

Kononnya banyak perkadaran pada Parthenon mempamerkan nisbah keemasan.

Muka bangunan Parthenon dan juga unsur-unsur padanya dan tempat lain dikatakan oleh sesetengah orang diterap lilit oleh segiempat tepat keemasan.^[21] Sarjana-sarjana lain menafikan bahawa orang Yunani memiliki sebarang kaitan estetik dengan nisbah keemasan. Contohnya, ujar Midhat J. Gazalé, "Bagaimana pun, sifat-sifat matematik nisbah keemasan tidak pernah dikaji sehinggalah zaman Euclid. Dalam buku Elements (308 SM), ahli matematik Yunani itu hanya menganggap nombor tersebut sebagai nombor tak nisbah yang menarik, dalam kaitan dengan nisbah-nisbah pertengahan dan melampau. Keberlakuannya dalam pentagon dan dekagon sekata telah diperhatikan seperti yang sepatutnya, begitu juga dalam dodekahedron (polihedron sekata dengan 12 mukanya adalah pentagon sekata). Perkara itu dapat menjadi contoh bahawa Euclid secara samar menyifatkan nombor tersebut sebagai apa yang sebenarnya ia tanpa mengaitkannya dengan selain daripada sifat-sifat sebenarnya, bertentangan dengan generasi-generasi mistik yang mengikut kemudian."^[22] Dan ujar Keith Devlin, "Pastinya dakwaan yang kerap didengari bahawa Parthenon di Athens berasaskan nisbah keemasan tidak disokong oleh pengukuran sebenar. Hakikatnya, keseluruhan cerita tentang orang Yunani dan nisbah keemasan kelihatan tidak mempunyai asas. Satu perkara yang kita ketahui dengan pasti ialah bahawa Euclid, dalam buku teks terkenalnya Elements yang ditulis sekitar 300 SM, menunjukkan cara mengira nilainya."^[23] Sumber-sumber sezaman terdekat seperti Vitruvius membincangkan sepenuhnya perkadaran-perkadaran yang dapat diungkapkan dalam keseluruhan nombor-nombor yakni setara sebagai bertentangan dengan perkadaran tak nisbah.

Satu analisis geometri pada tahun 2004 dari kajian awal mengenai Masjid Agung Kairouan mendedahkan penggunaan nisbah keemasan secara konsisten pada segenap rekabentuk menurut Boussora dan Mazouz.^[24] Mereka menemui nisbah-nisbah yang hampir dengan nisbah keemasan di dalam keseluruhan perkadaran pelan dan di dalam dimensi ruang solat, halaman dan menara azan. Bagaimana pun, para penulis tersebut mencatatkan bahawa kawasan-kawasan yang nisbahnya menghampiri nisbah keemasan ditemui bukan sebahagian daripada binaan asal, dan memberi teori bahawa unsur-unsur ini ditambah semasa pembinaan semula masjid itu.

Rujukan dan notakaki sunting

^ ^a ^b The golden ratio can be derived by the quadratic formula, by starting with the first number as 1, then solving for 2nd number x, where the ratios (x + 1)/x = x/1 or (multiplying by x) yields: x + 1 = x², or thus a quadratic equation: x² − x − 1 = 0. Then, by the quadratic formula, for positive x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a) with a = 1, b = −1, c = −1, the solution for x is: (−(−1) + √((−1)² − 4·1·(−1)))/(2·1) or (1 + √(5))/2.
^ ^a ^b ^c Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
^ Piotr Sadowski, The Knight on His Quest: Symbolic Patterns of Transition in Sir Gawain and the Green Knight, Cranbury NJ: Associated University Presses, 1996
^ Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
^ ^a ^b ^c ^d Euclid, Elements, Book 6, Definition 3.
^ Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "And the same applies in architecture, to the rectangles representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."
^ Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920
^ William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003
^ Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.
^ Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; teks bagi rujukan MathWorld GR Conjugate tidak disediakan
^ Mario Livio,The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number, p.6
^ Euclid, Elements, Book 6, Proposition 30.
^ Euclid, Elements, Book 2, Proposition 11; Book 4, Propositions 10–11; Book 13, Propositions 1–6, 8–11, 16–18.
^ "The Golden Ratio". The MacTutor History of Mathematics archive. Dicapai pada 2007-09-18.
^ Eric W. Weisstein, Golden Ratio di MathWorld.
^ Hemenway, Priya (2005). Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science. New York: Sterling. m/s. 20–21. ISBN 1-4027-3522-7.
^ Plato (360 BC) (Benjamin Jowett trans.). "Timaeus". The Internet Classics Archive. Dicapai pada May 30, 2006. Check date values in: |year= (bantuan)
^ James Joseph Tattersall (2005). Elementary number theory in nine chapters (ed. 2nd). Cambridge University Press. m/s. 28. ISBN 9780521850148.
^ Underwood Dudley (1999). Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will. Springer. m/s. 245. ISBN 3-7643-5978-1.
^ Cook, Theodore Andrea (1979) [1914]. The Curves of Life. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-23701-X.
^ Van Mersbergen, Audrey M., "Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic", Communication Quarterly, Vol. 46 No. 2, 1998, pp 194-213.
^ Midhat J. Gazalé , Gnomon, Princeton University Press, 1999. ISBN 0-691-00514-1
^ Keith J. Devlin The Math Instinct: Why You're A Mathematical Genius (Along With Lobsters, Birds, Cats, And Dogs), p. 108. New York: Thunder's Mouth Press, 2005, ISBN 1-56025-672-9
^ Boussora, Kenza and Mazouz, Said, The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan, Nexus Network Journal, vol. 6 no. 1 (Spring 2004), [1]

Pautan luar sunting

"Golden Section" by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Green, Thomas M. (updated June 20, 2005). "The Pentagram & The Golden Ratio". Diarkibkan daripada yang asal pada 2007-11-05. Dicapai pada December 1, 2007. Check date values in: |date= (bantuan) Geometry instruction with problems to solve.
Knott, Ron. "The Golden section ratio: Phi". Information and activities by a mathematics professor.
Eric W. Weisstein, Golden Ratio di MathWorld.
"Researcher explains mystery of golden ratio". PhysOrg. December 21, 2009..

[quadform-1] The golden ratio can be derived by the quadratic formula, by starting with the first number as 1, then solving for 2nd number x, where the ratios (x + 1)/x = x/1 or (multiplying by x) yields: x + 1 = x², or thus a quadratic equation: x² − x − 1 = 0. Then, by the quadratic formula, for positive x = (−b + √(b² − 4ac))/(2a) with a = 1, b = −1, c = −1, the solution for x is: (−(−1) + √((−1)² − 4·1·(−1)))/(2·1) or (1 + √(5))/2.

[livio-2] Livio, Mario (2002). The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.

[3] Piotr Sadowski, The Knight on His Quest: Symbolic Patterns of Transition in Sir Gawain and the Green Knight, Cranbury NJ: Associated University Presses, 1996

[dunlap-4] Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997

[Elements_6.3-5] Euclid, Elements, Book 6, Definition 3.

[6] Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "And the same applies in architecture, to the rectangles representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."

[7] Jay Hambidge, Dynamic Symmetry: The Greek Vase, New Haven CT: Yale University Press, 1920

[8] William Lidwell, Kritina Holden, Jill Butler, Universal Principles of Design: A Cross-Disciplinary Reference, Gloucester MA: Rockport Publishers, 2003

[9] Pacioli, Luca. De divina proportione, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venice.

[MathWorld_GR_Conjugate-10] Ralat petik: Tag <ref> tidak sah; teks bagi rujukan MathWorld GR Conjugate tidak disediakan

[11] Mario Livio,The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number, p.6

[12] Euclid, Elements, Book 6, Proposition 30.

[13] Euclid, Elements, Book 2, Proposition 11; Book 4, Propositions 10–11; Book 13, Propositions 1–6, 8–11, 16–18.

[14] "The Golden Ratio". The MacTutor History of Mathematics archive. Dicapai pada 2007-09-18.

[15] Eric W. Weisstein, Golden Ratio di MathWorld.

[Hemenway,P-16] Hemenway, Priya (2005). Divine Proportion: Phi In Art, Nature, and Science. New York: Sterling. m/s. 20–21. ISBN 1-4027-3522-7.

[17] Plato (360 BC) (Benjamin Jowett trans.). "Timaeus". The Internet Classics Archive. Dicapai pada May 30, 2006. Check date values in: |year= (bantuan)

[tatt-18] James Joseph Tattersall (2005). Elementary number theory in nine chapters (ed. 2nd). Cambridge University Press. m/s. 28. ISBN 9780521850148.

[19] Underwood Dudley (1999). Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will. Springer. m/s. 245. ISBN 3-7643-5978-1.

[20] Cook, Theodore Andrea (1979) [1914]. The Curves of Life. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-23701-X.

[21] Van Mersbergen, Audrey M., "Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic", Communication Quarterly, Vol. 46 No. 2, 1998, pp 194-213.

[22] Midhat J. Gazalé , Gnomon, Princeton University Press, 1999. ISBN 0-691-00514-1

[23] Keith J. Devlin The Math Instinct: Why You're A Mathematical Genius (Along With Lobsters, Birds, Cats, And Dogs), p. 108. New York: Thunder's Mouth Press, 2005, ISBN 1-56025-672-9

[24] Boussora, Kenza and Mazouz, Said, The Use of the Golden Section in the Great Mosque of Kairouan, Nexus Network Journal, vol. 6 no. 1 (Spring 2004), [1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]