Nombor ordinal

Dalam teori set, nombor ordinal atau ordinal ialah jenis tertib untuk set yang tersusun rapi. Ia biasanya diidentifikasi dengan set transitif yang bersifat keturunan. Ordinal merupakan pengembangan nombor asli yang berbeza dengan integer dan nombor kardinal. Seperti semua jenis nombor, ordinal boleh ditambah, didarab dan dibahagi.

Ordinal diperkenalkan oleh Georg Cantor pada tahun 1897 untuk memudahkan turutan tak terhingga dan untuk mengklasifikasi set dengan beberapa jenis struktur tertiban padanya.

Ordinal terhingga (dan juga kardinal) adalah nombor asli: 0, 1, 2, ..., kerana sebarang dua jumlah tertib untuk satu set terhingga adalah tertib isomorfik. Ordinal terhingga yang terkecil ialah ω, yang dikenali dengan nombor kardinal $\aleph _{0}$. Bagaimanapun, dalam kes melampaui terhingga ω, ordinal memiliki perbezaan yang lebih halus dengan kardinal berdasarkan maklumat tertibnya. Terdapat hanya satu kardinal tak terhingga yang boleh dikira, iaitu $\aleph _{0}$, berbanding kardinal tak terhingga yang jumlahnya begitu banyak, contohnya

ω, ω + 1, ω + 2, …, ω·2, ω·2 + 1, …, ω², …, ω³, …, ω^ω, …, ω^ωω, …, ε₀, ….

Di sini, penambahan dan pendaraban adalah tidak kalis tukar tertib (tertakluk kepada kedudukan unsur yang dioperasinya): contohnya 1 + ω ialah ω dan bukan ω + 1, begitu juga, 2·ω ialah ω dan bukan ω·2. Set untuk semua ordinal yang boleh dikira adalah terdiri daripada kardinal tak terkira pertama ω₁ yang diidentifikasi dengan kardinal $\aleph _{1}$ (kardinal seterusnya selepas $\aleph _{0}$). Kardinal tersusun rapi diidentifikasi dengan ordinal asalnya, iaitu ordinal terkecil dalam kekardinalan tersebut. Kekardinalan ordinal menerangkan pertalian banyak ke satu dari ordinal ke kardinal.

Umumnya, setiap ordinal α ialah jenis tertib set ordinal yang mesti kurang dari ordinal α itu sendiri. Sifat ini membenarkan setiap ordinal diwakili sebagai satu set kepada semua ordinal kurang darinya. Ordinal boleh dikategorikan sebagai; sifar, ordinal pengganti, dan ordinal had.

Pautan luar

• Eric W. Weisstein, Ordinal Number di MathWorld.
• Ordinals at ProvenMath
• Beitraege zur Begruendung der transfiniten Mengenlehre Kertas kerja asal Cantor yang diterbitkan dalam Mathematische Annalen 49(2), 1897