Teorem binomial

(Dilencongkan dari Pengembangan binomial)

Dalam algebra permulaan, teorem binomial (atau pengembangan binomial) menerangkan pengembangan algebra bagi kuasa suatu binomial. Menurut teorem ini, adalah mungkin untuk mengembangkan polinomial (x + y)n kepada hasil tambah yang melibatkan sebutan bagi bentuk axbyc, di mana eksponen b dan c ialah integer bukan negatif dengan b + c = n, dan pekali a bagi setiap sebutan ialah integer positif tertentu yang bergantung pada n dan b. Contohnya, untuk n = 4,

Pekali a dalam sebutan axbyc dikenali sebagai pekali binomial atau (kedua-duanya mempunyai nilai yang sama). Pekali-pekali ini untuk n dan b yang berbeza boleh disusun bagi membentuk segi tiga Pascal. Nombor-nombor ini juga berlaku dalam kombinatorik, di mana memberikan bilangan gabungan berbeza bagi unsur b yang boleh dipilih daripada set unsur n. Oleh itu, sering kali disebut sebagai "n memilih b".

Pernyataan sunting

Menurut teorem binomial, adalah mungkin untuk mengembangkan kuasa integer bukan negattif bagi x + y kepada suatu hasli tambah bagi bentuk

 
di mana   merupakan suatu integer dan setiap   adalah suatu integer positif yang dikenali sebagai pekali binomial. (Apabila eksponen adalah sifar, ungkapan kuasa yang sepadan diambil sebagai 1 dan faktor pendaraban ini sering diabaikan daripada sebutan. Oleh itu seseorang sering melihat sisi sebelah kanan ditulis sebagai  .) Rumus ini juga dirujuk sebagai rumus binomial atau identiti binomial. Menggunakan tatatanda penghasiltambahan, ia boleh ditulis sebagai
 
Ungkapan terakhir mengikuti dari yang sebelumnya dengan simetri bagi x dan y dalam ungkapan pertama, dan sebagai perbandingan, jujukan pekali binomial dalam rumus adalah simetri. Suatu varian ringkas rumus binomial diperoleh dengan menggantikan 1 untuk y supaya ia hanya melibatkan satu pemboleh ubah. Dalam bentuk ini, rumus itu dibaca
 
atau secara setara
 
atau lebih tersurat[1]
 

Rujukan sunting

  1. ^ Mathematical Methods for Physicists (dalam bahasa Inggeris). 2013. m/s. 34. doi:10.1016/c2009-0-30629-7. ISBN 9780123846549.