Teorem Lindemann–Weierstrass

Dalam teori nombor transenden, teorem Lindemann–Weierstrass (Jawi: تيورم ليندمن–وايشترسcode: ar is deprecated ) ialah satu hasil yang amat berguna dalam mewujudkan jangkau nombor. Ia menyatakan bahawa

Teorem Lindemann–Weierstrass — jika α₁, ..., α_n ialah nombor algebra iaitu tak bersandar secara linear atas nombor nisbah ℚ, maka e^α₁, ..., e^α_n tak bersandar secara algebra atas ℚ;

dalam kata lain medan perluasan ℚ(e^α₁, ..., e^α_n) ada darjah jangkauan n atas ℚ. Sebuah perumusan setara (Baker 1990, Bab 1, Teorem 1.4), berikut:

Sebuah perumusan setara — Jika α₁, ..., α_n ialah nombor algebra berbeza, maka eksponen e^α₁, ..., e^α_n tak bersandar secara linear atas nombor-nombor algebra itu.

Kesetaraan ini menjelma satu hubungan linear atas nombor-nombor algebra ke dalam satu hubungan algebra atas ℚ; dengan menggunakan fakta berkenaan bahawa satu polinomial simetri yang hujah-hujahnya semuanya konjugat satu sama lain memberi satu nombor nisbah.

Teorem ini dinamakan sempena Ferdinand von Lindemann dan Karl Weierstrass. Lindemann membuktikan pada tahun 1882 bahawa e^α is transcendental bagi setiap nombor algebra bukan sifar α, dan dengan itu mewujudkan bahawa π ialah transenden (lihat di bawah). Weierstrass membuktikan di atas lebih kenyataan umum pada tahun 1885.

Teorem ini, bersama dengan teorem Gelfond–Schneider, dilanjutkan oleh teorem Baker, dan semua ini diamkan lanjut oleh konjektur Schanuel.

Konvensyen penamaan

Teorem ini juga dikenali dengan pelbagai nama sebagai teorem Hermite–Lindemann dan teorem Hermite–Lindemann–Weierstrass. Charles Hermite pertama membuktikan teorem yang lebih biasa bahawa eksponen α_i perlu menjadi integer nisbah dan ketakbersandaran linear hanya terjamin atas integer nisbah, satu keputusan kadangkala dirujuk sebagai teorem Hermite. Walaupun rupa-rupanya satu kes yang agak istimewa atas teorem, keputusan umum boleh diturunkan ke kes yang lebih biasa ini. Lindemann merupakan yang pertama untuk membenarkan nombor algebra ke dalam kerja Hermite pada tahun 1882. Tidak lama kemudian, Weierstrass memperoleh keputusan penuh, dan pemudahan lanjut telah dibuat oleh beberapa ahli matematik, terutamanya oleh David Hilbert dan Paul Gordan.

Rujukan

• Gordan, P. (1893), "Transcendenz von e und π.", Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman), 43: 222–224, doi:10.1007/bf01443647
• Hermite, C. (1873), "Sur la fonction exponentielle.", Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris (dalam bahasa Perancis), 77: 18–24
• Hermite, C. (1874), Sur la fonction exponentielle. (dalam bahasa Perancis), Paris: Gauthier-Villars
• Hilbert, D. (1893), "Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π.", Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman), 43: 216–219, doi:10.1007/bf01443645, diarkibkan daripada yang asal pada 2017-10-06, dicapai pada 2018-03-30
• Lindemann, F. (1882), "Über die Ludolph'sche Zahl.", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (dalam bahasa Jerman), 2: 679–682
• Lindemann, F. (1882), "Über die Zahl π.", Mathematische Annalen (dalam bahasa Jerman), 20: 213–225, doi:10.1007/bf01446522, diarkibkan daripada yang asal pada 2017-10-06, dicapai pada 2018-03-30
• Weierstrass, K. (1885), "Zu Lindemann's Abhandlung. "Über die Ludolph'sche Zahl".", Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin (dalam bahasa Jerman), 5: 1067–1085

Bacaan lanjut

• Baker, Alan (1990), Transcendental number theory [Teori nombor transenden], Cambridge Mathematical Library (dalam bahasa Inggeris) (ed. ke-2), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39791-9, MR 0422171
• Bertrand, D. (1997), "Theta functions and transcendence" [Fungsi teta dan transenden], The Ramanujan Journal (dalam bahasa Inggeris), 1 (4): 339–350, doi:10.1023/A:1009749608672
• Gelfond, A.O. (2015) [1960], Transcendental and Algebraic Numbers [Nombor Transenden dan Algebra], Dover Books on Mathematics (dalam bahasa Inggeris), diterjemahkan oleh Boron, Leo F., New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49526-2, MR 0057921

Pautan luar

• Eric W. Weisstein, Hermite-Lindemann Theorem di MathWorld.
• Eric W. Weisstein, Lindemann-Weierstrass Theorem di MathWorld.