Trigonometri sfera

Trigonometri sfera ialah cabang geometri sfera yang menyatakan hubungan metrik antara sisi dan sudut segi tiga sfera, secara tradisinya dinyatakan menggunakan fungsi trigonometri. Pada sfera, geodesik ialah bulatan agung. Trigonometri sfera sangat penting untuk pengiraan dalam astronomi, geodesi dan navigasi.

Asal usul trigonometri sfera dalam matematik Yunani dan perkembangan utama dalam matematik Islam dibincangkan sepenuhnya dalam Sejarah trigonometri dan Matematik dalam Islam zaman pertengahan. Subjek ini membuahkan hasil pada zaman Moden Awal dengan perkembangan penting oleh John Napier, Delambre dan lain-lain, dan mencapai bentuk yang lengkap pada akhir abad kesembilan belas dengan penerbitan buku teks Todhunter Trigonometri Sfera untuk kegunaan kolej dan sekolah.^[1] Sejak itu, perkembangan yang ketara ialah penggunaan kaedah vektor, kaedah kuaternion, dan penggunaan kaedah berangka.

Pendahuluan sunting

Lapan segi tiga sfera yang ditakrifkan oleh persilangan tiga bulatan agung.

Poligon sfera sunting

Poligon sfera ialah poligon pada permukaan sfera yang ditakrifkan oleh beberapa lengkok bulatan agung, yang merupakan persilangan permukaan dengan satah melalui pusat sfera. Poligon sedemikian mungkin mempunyai sebarang bilangan sisi. Dua satah menakrifkan lune, juga dipanggil "digon" atau dwi-sudut, analog dua sisi segi tiga: contoh yang biasa ialah permukaan melengkung bagi potongan segmen oren. Tiga satah menakrifkan segi tiga sfera, subjek utama artikel ini. Empat satah menakrifkan segi empat sfera: rajah sedemikian, dan poligon sisi yang lebih tinggi, sentiasa boleh dianggap sebagai beberapa segi tiga sfera.

Satu poligon sfera dengan sifat yang menarik ialah pentagramma mirificum, poligon bintang 5 sisi sfera dengan semua sudut tegak.

Dari sudut ini artikel akan dihadkan kepada segi tiga sfera, dilambangkan hanya sebagai segi tiga.

Notasi sunting

Segi tiga asas pada unit sfera.

Kedua-dua bucu dan sudut pada bucu dilambangkan dengan huruf besar A, B dan C yang sama.
Sudut A, B, C bagi segi tiga adalah sama dengan sudut antara satah yang bersilang dengan permukaan sfera atau, secara bersamaan, sudut antara vektor tangen lengkok bulatan agung di mana ia bertemu di bucu. Sudut adalah dalam radian. Sudut bagi segi tiga sfera betul adalah (mengikut konvensyen) kurang daripada π supaya π < A + B + C < 3 π. (Todhunter,^[1] Art.22,32).
Sisi dilambangkan dengan huruf kecil a, b, dan c. Pada sfera unit, panjangnya secara berangka sama dengan ukuran radian sudut yang dicantumkan oleh lengkok bulatan besar di tengah. Sisi segi tiga sfera betul adalah (mengikut konvensyen) kurang daripada π supaya 0 < a + b + c < 2 π. (Todhunter,^[1] Art.22,32).
Jejari sfera diambil sebagai kesatuan. Untuk masalah praktikal khusus pada sfera jejari R, panjang sisi yang diukur mesti dibahagikan dengan R sebelum menggunakan identiti yang diberikan di bawah. Begitu juga, selepas pengiraan pada unit sfera sisi a, b, c mesti didarab dengan R.

Hukum kosinus dan hukum sinus sunting

Hukum kosinus sunting

Hukum kosinus ialah identiti asas trigonometri sfera: semua identiti lain, termasuk hukum sinus, boleh diperoleh daripada hukum kosinus:

\cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A,\!

\cos b=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B,\!

\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C,\!

Identiti ini menyamaratakan hukum kosinus trigonometri satah, yang mana ia adalah setara secara asimptot dalam had sudut dalaman yang kecil. (Pada sfera unit, jika $a,b,c\rightarrow 0$ ditetapkan $\sin a\approx a$ dan $(\cos a-\cos b)^{2}\approx 0$ dan lain-lain.; lihat hukum sfera kosinus.)

Hukum sinus sunting

Hukum sfera sinus diberikan oleh formula

{\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.

Identiti ini menghampiri peraturan sinus trigonometri satah apabila sisi jauh lebih kecil daripada jejari sfera.

Identiti sunting

Hukum kosinus tambahan sunting

Menggunakan peraturan kosinus pada segi tiga kutub memberikan (Todhunter,^[1] Art.47), iaitu menggantikan A dengan π – a , a oleh π – A dan lain-lain,

Rumus empat bahagian kotangen sunting

Enam bahagian segi tiga boleh ditulis dalam susunan kitaran sebagai (aCbAcB). Rumus kotangen, atau empat bahagian, mengaitkan dua sisi dan dua sudut membentuk empat bahagian berturut-turut di sekeliling segi tiga, contohnya (aCbA) atau (BaCb). Dalam set sedemikian terdapat bahagian dalam dan luar: contohnya dalam set (BaCb) sudut dalam ialah C, bahagian dalam ialah a, sudut luar ialah B, bahagian luar ialah b. Peraturan kotangen boleh ditulis sebagai (Todhunter,^[1] Art.44)

\cos({\mathsf {inner}}\ {\mathsf {side}})\cos({\mathsf {inner}}\ {\mathsf {angle}})=\cot({\mathsf {outer}}\ {\mathsf {side}})\sin({\mathsf {inner}}\ {\mathsf {side}})-\cot({\mathsf {outer}}\ {\mathsf {angle}})\sin({\mathsf {inner}}\ {\mathsf {angle}}),

dan enam persamaan yang mungkin adalah (dengan set berkaitan ditunjukkan di sebelah kanan):

{\begin{array}{lll}{\text{(CT1)}}\quad &\cos b\,\cos C=\cot a\,\sin b-\cot A\,\sin C,\qquad &(aCbA)\\[0ex]{\text{(CT2)}}&\cos b\,\cos A=\cot c\,\sin b-\cot C\,\sin A,&(CbAc)\\[0ex]{\text{(CT3)}}&\cos c\,\cos A=\cot b\,\sin c-\cot B\,\sin A,&(bAcB)\\[0ex]{\text{(CT4)}}&\cos c\,\cos B=\cot a\,\sin c-\cot A\,\sin B,&(AcBa)\\[0ex]{\text{(CT5)}}&\cos a\,\cos B=\cot c\,\sin a-\cot C\,\sin B,&(cBaC)\\[0ex]{\text{(CT6)}}&\cos a\,\cos C=\cot b\,\sin a-\cot B\,\sin C,&(BaCb).\end{array}}

Untuk membuktikan rumus pertama bermula dari hukum kosinus pertama dan di sebelah kanan menggantikan $\cos c$ daripada hukum kosinus ketiga:

{\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\&=\cos b\ (\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C)+\sin b\sin C\sin a\cot A\\\cos a\sin ^{2}b&=\cos b\sin a\sin b\cos C+\sin b\sin C\sin a\cot A.\end{aligned}}

Hasilnya menyusuli pembahagian dengan $\sin a\sin b$ . Teknik yang sama dengan dua hukum kosinus yang lain memberikan CT3 dan CT5. Tiga persamaan lain diikuti dengan menggunakan hukum 1, 3 dan 5 pada segi tiga kutub.

Lihat juga sunting

Rujukan sunting

^ ^a ^b ^c ^d ^e Todhunter, I. (1886). Spherical Trigonometry (ed. 5th). MacMillan. Diarkibkan daripada yang asal pada 2020-04-14. Dicapai pada 2013-07-28.

[todhunter-1] Todhunter, I. (1886). Spherical Trigonometry (ed. 5th). MacMillan. Diarkibkan daripada yang asal pada 2020-04-14. Dicapai pada 2013-07-28.

[1]