Wikipedia

Urutan pengiraan

Dalam bidang matematik dan pengaturcaraan komputer, urutan pengiraan (boleh dikenali sebagai keutamaan pengiraan, susunan pengiraan atau tertib pengiraan) merupakan satu himpunan aturan-aturan yang mencerminkan kelaziman tentang langkah-langkah yang mana satu perlu didahulukan untuk mencerakin satu ungkapan matematik tertentu.

Contohnya, dalam bidang matematik dan kebanyakan bahasa aturan komputer, pendaraban diberikan keutamaan terlebih dahulu berbanding penambahan, dan kaedah seperti ini telah pun mantap diasaskan sejak pengenalan tatatanda algebra moden.[1][2] Oleh itu, ungkapan 1 + 2 × 3 secara lalainya ditafsirkan sebagai 1 + (2 × 3) = 7, dan bukan (1 + 2) × 3 = 9 . Apabila ungkapan eksponen diperkenalkan pada abad ke-16 dan ke-17, ia diberi keutamaan berbanding penambahan dan pendaraban, dan boleh diletakkan hanya sebagai superskrip di sebelah kanan nombor asasnya.[1] Maka wujudlah ungkapan 3 + 52 = 28 dan 3 × 52 = 75.

Kelaziman ini wujud untuk menghapuskan ketaksaan tatatanda, di samping membenarkan sesuatu tatatanda menjadi sesingkat yang mungkin. Jika ada keperluan untuk mengatasi urutan tatatanda, atau sekadar untuk menekankan kepentingan urutan tersebut, tanda kurung ( ) boleh digunakan. Contoh, (2 + 3) × 4 = 20 memaksa penambahan untuk mendahului pendaraban, manakala (3 + 5)2 = 64 memaksa penambahan untuk mendahului eksponen. Jika berbilang pasangan kurungan diperlukan dalam ungkapan matematik, kurungan biasa boleh digantikan dengan kurungan siku atau kurungan dakap untuk mengelakkan kekeliruan, contohnya seperti [2 × (3 + 4)] − 5 = 9 .

Istilah sunting

Urutan pengiraan, yakni ketertiban yang wajib dituruti dalam pengiraan sesuatu formula digunakan di seluruh bidang matematik, sains, teknologi dan pelbagai bahasa pengaturcaraan komputer. Aturan susunan adalah seperti berikut:[1][3][4]

  1. Subungkapan kurungan
  2. Pengeksponenan
  3. Pendaraban dan Pembahagian
  4. Penambahan dan Penolakan

Maksud di sini adalah untuk mencerakin sesuatu ungkapan, seseorang terlebih dahulu perlu mencerakin mana-mana subungkapan yang ada di dalam kurungan, mengikut turutan dari dalam ke luar jika terdapat lebih daripada satu set kurungan. Sama ada berada di dalam kurungan ataupun tidak, pengiraan pada aras turutan yang lebih tinggi berdasarkan senarai di atas hendaklah diutamakan dahulu.

Aturan tukar tertib dan sekutuan bagi kiraan penambahan dan pendaraban membenarkan faktor-faktor tambahan and gandaan dalam sebarang susunan—tetapi operasi bercampur pelbagai aras urutan mesti mematuhi urutan operasi standard tersebut.

Pembahagian yang digantikan dengan pengiraan salingan (penyongsangan berdaraban) serta penolakan yang digantikan dengan penambahan nilai negatif (penyongsangan berdaya tambah) adalah berguna dalam sesetengah konteks. Contohnya, dalam bidang Sebagai contoh, dalam bidang algebra komputer, penyongsangan tersebut membolehkan seseorang mengendalikan bilangan operasi dedua yang lebih sedikit dan meringkaskan kerja pemudahan ungkapan yang lebih besar menggunakan prinsip ketukartertiban dan kebersekutuan. Makanya 3 ÷ 4 = 3 × 1/4; yang bermaksud hasil bahagi 3 dengan 4 bersamaan dengan hasil darab 3 dengan 1/4. Hal ini sama juga untuk operasi 3 − 4 = 3 + (−4); yang bermaksud nilai beza antara 3 dan 4 bersamaan dengan hasil tambah 3 dan −4. Maka, 1 − 3 + 7 boleh dianggap sebagai hasil tambah 1 + (−3) + 7, dan penambahan tiga nilai berbeza itu boleh disusun dalam mana-mana urutan depan atau belakang dalam proses penambahan, dengan hasil yang sama iaitu 5.

Simbol akar √ lazimnya dipanjangkan dengan garis (dipanggil tanda vinkulum) di atas radikan (bagi mengelakkan keperluan tanda kurung mengelilingi nilai radikan). Fungsi lain penggunaan kurungan di sekeliling input adalah untuk mengelakkan ketaksaan.[5][6][a] Tanda kurung boleh diabaikan jika input ialah pembolehubah berangka tunggal atau pemalar,[1] seperti dalam kes sin x = sin(x) dan sin π = sin(π) . Satu lagi kelaziman pintasan yang kadangkala digunakan adalah sewaktu input itu bersifat monomial; maka, sin 3x = sin(3x) berbanding (sin(3)) x, tetapi sin x + y = sin(x) + y, kerana x + y bukan bersifat monomial. Walau bagaimanapun, kelaziman tersebut bersifat samar dan tidak difahami secara universal di luar konteks tertentu. Sesetengah kalkulator dan bahasa pengaturcaraan memerlukan tanda kurungan di sekeliling input fungsi, manakala sesetengah yang lain tidak.

Simbol pengumpulan (kurungan dan garisan) boleh digunakan untuk mengatasi susunan operasi biasa.[1] Simbol pengumpulan boleh dianggap sebagai satu ungkapan.[1] Simbol pengumpulan boleh dibuang menggunakan prinsip ketukartertiban dan kebersekutuan, serta boleh juga disisihkan jika ungkapan di dalam simbol pengumpulan itu cukup dipermudahkan sehingga penyingkirannya tidak mewujudkan kesamaran hasil kiraan.

Contoh sunting

Pendaraban didahulukan sebelum penambahan:

 

Subungkapan berkurung dikira dahulu:

 

Pengeksponenan dikira sebelum pendaraban, pendaraban dikira sebelum penolakan:

 

Apabila ungkapan ditulis dalam superskrip, superskrip dianggap dikumpulkan mengikut kedudukannya di atas nilai asasnya:

  manakala dalam program C ungkapan tersebut menjadi 1 + 2 ^ 3 + 4 membawa nilai kepada  

Lingkuran kiraan sesuatu simbol akar ditentukan oleh sepanjang mana garis atas melitupi ungkapan matematik tersebut:

 

Garis pecahan mendatar juga bertindak sebagai simbol pengumpulan:

 

Untuk mudah dibaca, lain-lain simbol pengumpulan seperti tanda kurung dakap { } atau tanda kurung siku [ ], kadangkala digunakan bersama tanda kurung biasa ( ). Contohnya:

 

Nemonik sunting

Nemonik kadangkala digunakan untuk membantu pelajar menghafal aturan tersebut yang melibatkan satu atau dua huruf terawal untuk setiap operasi pengiraan. Terdapat pelbagai nemonik digunakan pada negara-negara yang berbeza.[7][8][9]

  • Di Malaysia, "KUDABATATO" digunakan sebagai nemonik yang bermaksud "Kurung(an), Darab, Bahagi, Tambah, Tolak".
  • Di negara Amerika Syarikat[10] serta Perancis,[11] akronim PEMDAS selalu digunakan. Ia mewakili "Parentheses, Exponents, Multiplication/Division, Addition/Subtraction".[10] PEMDAS selalunya dikembangkan nemonik nemonik "Please Excuse My Dear Aunt Sally" di sekolah.[12]
  • Negara Kanada dan New Zealand pula menggunakan BEDMAS, yang mewakili "Brackets, Exponents, Division/Multiplication, Addition/Subtraction".[10]
  • Di negara-negara seperti United Kingdom (UK), Pakistan, India, Bangladesh dan Australia[13] serta sesetengah negara yang menggunakan bahasa Inggeris, BODMAS digunakan yang mewakili "Brackets, Order, Division/Multiplication, Addition/Subtraction".[14] Negara Nigeria dan beberapa negara Afrika Barat juga guna BODMAS. Di UK turut menggunakan BIDMAS yang mewakili "Brackets, Indices, Division/Multiplication, Addition/Subtraction".

Nemonik sedemikian mungkin boleh membawa kekeliruan apabila ditulis dalam bentuk begini.[12] Misalnya, menyalahtafsirkan mana-mana aturan di atas sehingga membawa makna "tambah dahulu, tolak kemudian" akan membawa kepada penilaian ungkapan yang tidak tepat[12] kerana   boleh disalahtafsir menjadi  , sedangkan penilaian ungkapan yang betul ialah  . Nilai-nilai tersebut akan berbeza apabila  .

 
6÷2×(1+2) dinilai sebagai 6÷(2×(1+2)) oleh kalkulator fx-82MS (rajah atas), dan (6÷2)×(1+2) oleh kalkulator TI-83 Plus (rajah bawah).

"Tambah/Tolak" dalam nemonik sepatutnya ditafsir sebagai penolakan adalah penambahan nilai yang bertentangan, manakala ungkapan a ÷ b × c adalah kabur dan boleh dibaca dalam pelbagai cara kerana   adalah berbeza daripada   apabila  

Ketaksaan tambahan yang disebabkan oleh cara pengiraan darab yang disusun berdampingan serta penggunaan tanda miring mewakili pembahagian telah dibincagkan pada bahagian berikut. Umumnya, gunakanlah tanda kurung untuk mengelak ketaksaan.

Kes khas sunting

Pengeksponenan bersiri sunting

Jika pengeksponenan ditunjukkan oleh simbol-simbol bertindan menggunakan notasi superskrip, aturan yang biasa adalah dikira dari atas ke bawah:[15][1][6][16]

abc = a(bc)

dan tidak sama dengan (ab)c. Konvensyen ini berguna kerana terdapat sifat eksponen tertentu yang menunjukkan (ab)c = abc, jadi tidak perlu menggunakan eksponensi bersiri untuk ungkapan ini.

Walau bagaimanapun, apabila menggunakan tatatanda operator dengan tanda tinggal (^) atau tanda anak panah (↑), tiada kelaziman piawai.[17] Contohnya, Microsoft Excel dan bahasa pengaturcaraan pengiraan MATLAB menilai a^b^c sebagai (ab)c, tetapi Carian Google dan Wolfram Alpha menilai ungkapan tersebut sebagai a(bc). Oleh itu hasil pengiraan 4^3^2 dalam situasi pertama ialah 4,096 dan dalam situasi kedua ialah 262,144.

Tanda tolak sesatu sunting

Terdapat kelaziman yang berbeza mengenai tanda sesatu − (juga lazim dikenali sebagai "tanda tolak"). Dalam keadaan penulisan atau percetakan melibatkan matermatik, ungkapan −32 ditafsirkan sebagai −(32) = −9.[1][18]

Dalam sesetengah aplikasi dan bahasa pengaturcaraan, terutamanya Microsoft Excel, PlanMaker (dan aplikasi hamparan lain) dan bahasa pengaturcaraan bc, pengendalian sesatu mempunyai keutamaan yang lebih tinggi berbanding pengendalian binari, maksudnya, penolakan sesatu di hadapan nombor mempunyai keutamaan yang lebih tinggi berbanding pengeksponenan, jadi dalam bahasa pengaturcaraan tersebut −32 akan ditafsirkan sebagai (−3)2 = 9.[19] Hal ini tidak terpakai kepada pengendali tolak binari −; contohnya dalam Microsoft Excel formula =−2^2, =-(2)^2 dan =0+−2^2 hasilnya 4, formula =0−2^2 dan =−(2^2) hasilnya − 4.

Pembahagian dan pendaraban bercampur sunting

Dalam sesetengah kertas kerja akademik, pendaraban yang disusun berdampingan (juga dikenali sebagai pendaraban tersirat) ditafsirkan mempunyai keutamaan yang lebih tinggi berbanding pembahagian, maka 1 ÷ 2n sama dengan 1 ÷ (2n), bukan (1 ÷ 2)n.[1] Contohnya, arahan penyerahan manuskrip untuk jurnal Physical Review menyatakan bahawa pendaraban adalah lebih diutamakan berbanding pembahagian,[20] dan ini juga merupakan konvensyen yang diperhatikan dalam buku teks fizik terkemuka seperti buku teks Course of Theoretical Physics karangan Landau dan Lifshitz serta buku teks Feynman Lectures on Physics.

Ketaksaan ini sering dieksploitasi oleh meme internet seperti " 8÷2(2+2) ", dengan terdapatnya dua tafsiran yang bercanggah: 8÷[2(2+2)] = 1 dan [8÷2](2+ 2) = 16.[21]

Ketaksaan ini juga boleh disebabkan oleh penggunaan tanda miring, '/', untuk pembahagian. Arahan penyerahan Physical Review mencadangkan untuk mengelakkan ungkapan berbentuk a/b/c; ketaksaan boleh dielakkan dengan menulis (a/b)/c atau a/(b/c).[20]

Lihat juga sunting

Nota penerangan sunting

  1. ^ Sesetengah penulis buku sengaja mengelak dari pembuangan tanda-tanda kurungan berfungsi walaupun dalam situasi hujah pemboleh ubah berangka tunggal atau pemalar (contohnya Oldham in Atlas), manakala beberapa penulis yang lain (contohnya NIST) menggunakan kaedah yang dipermudahkan ini hanya untuk nama fungsi yang berbilang huruf (seperti sin), tetapi tidak guna pemudahan ini pada nama fungsi generik (seperti f).

Rujukan sunting

  1. ^ a b c d e f g h i Bronstein, Ilja Nikolaevič; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke" [Definition of arithmetic expressions]. Ditulis pada Leipzig, Germany. Dalam Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (penyunting). Taschenbuch der Mathematik [Pocketbook of mathematics] (dalam bahasa Jerman). 1. Diterjemahkan oleh Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (ed. 23). Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany: Verlag Harri Deutsch (and B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig). m/s. 115–120, 802. ISBN 3-87144-492-8. Regel 7: Ist F(A) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung Fn(A) für (F(A))n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]
  2. ^ "Order of Operations: Why?". The Math Doctors. 2019-09-30. Dicapai pada 2021-10-21.
  3. ^ Weisstein, Eric W. "Precedence". mathworld.wolfram.com. Dicapai pada 2020-08-22.
  4. ^ Stapel, Elizabeth. "The Order of Operations: PEMDAS". Purplemath. Dicapai pada 2020-08-22.
  5. ^ Oldham, Keith B.; Myland, Jan C.; Spanier, Jerome (2009) [1987]. An Atlas of Functions: with Equator, the Atlas Function Calculator (ed. 2). Springer Science+Business Media, LLC. doi:10.1007/978-0-387-48807-3. ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN 2008937525.
  6. ^ a b Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel W.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., penyunting (2010). NIST Handbook of Mathematical Functions. National Institute of Standards and Technology (NIST), U.S. Department of Commerce, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248.[1]
  7. ^ "Rules of arithmetic" (PDF). Mathcentre.ac.uk. Dicapai pada 2019-08-02.
  8. ^ Ginsburg, David (2011-01-01). "Please Excuse My Dear Aunt Sally (PEMDAS)--Forever!". Education Week - Coach G's Teaching Tips.
  9. ^ "What is PEMDAS? - Definition, Rule & Examples". Study.com.
  10. ^ a b c Vanderbeek, Greg (June 2007). Order of Operations and RPN (Expository paper). Master of Arts in Teaching (MAT) Exam Expository Papers. Lincoln, Nebraska, USA: University of Nebraska. Paper 46. Diarkibkan daripada yang asal pada 2020-06-14. Dicapai pada 2020-06-14.
  11. ^ Le calcul qui divise : 6÷2(1+2) - Micmaths, dicapai pada 2021-11-01 Archived at Ghostarchive and the Wayback Machine
  12. ^ a b c Ball, John A. (1978). Algorithms for RPN calculators (ed. 1). Cambridge, Massachusetts, USA: Wiley-Interscience, John Wiley & Sons, Inc. m/s. 31. ISBN 0-471-03070-8.
  13. ^ "Order of operations" (DOC). Syllabus.bos.nsw.edu.au. Dicapai pada 2019-08-02.
  14. ^ "Bodmas Rule - What is Bodmas Rule - Order of Operations". vedantu.com. Dicapai pada 2019-08-21.
  15. ^ Robinson, Raphael Mitchel (October 1958) [1958-04-07]. "A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. University of California, Berkeley, California, USA. 9 (5): 673–681 [677]. doi:10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7. Diarkibkan (PDF) daripada yang asal pada 2020-06-28. Dicapai pada 2020-06-28.
  16. ^ Zeidler, Eberhard; Schwarz, Hans Rudolf; Hackbusch, Wolfgang; Luderer, Bernd; Blath, Jochen; Schied, Alexander; Dempe, Stephan; Wanka, Gert; Hromkovič, Juraj; Gottwald, Siegfried (2013) [2012]. Zeidler, Eberhard (penyunting). Springer-Handbuch der Mathematik I (dalam bahasa Jerman). I (ed. 1). Berlin / Heidelberg, Germany: Springer Spektrum, Springer Fachmedien Wiesbaden. m/s. 590. doi:10.1007/978-3-658-00285-5. ISBN 978-3-658-00284-8. (xii+635 pages)
  17. ^ Van Winkle, Lewis (2016-08-23). "Exponentiation Associativity and Standard Math Notation". Codeplea - Random thoughts on programming. Diarkibkan daripada yang asal pada 2020-06-28. Dicapai pada 2016-09-20.
  18. ^ Angel, Allen R. Elementary Algebra for College Students (ed. 8). Chapter 1, Section 9, Objective 3.
  19. ^ "Formula Returns Unexpected Positive Value". Microsoft. 2005-08-15. Diarkibkan daripada yang asal pada 2015-04-19. Dicapai pada 2012-03-05.
  20. ^ a b "Physical Review Style and Notation Guide" (PDF). American Physical Society. Section IV–E–2–e. Dicapai pada 2012-08-05.
  21. ^ Lakritz, Talia. "This equation has 2 wildly different answers depending on what you learned in school, and it's dividing the internet". Insider (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2022-02-18.

Bacaan lanjut sunting

Diambil daripada "https://ms.wikipedia.org/w/index.php?title=Urutan_pengiraan&oldid=6083769"