Senarai identiti logaritma

Dalam matematik, banyak identiti logaritma wujud. Berikut ialah kompilasi yang terkenal, kebanyakannya digunakan untuk tujuan perhitungan.

Logaritma
Domain dan Citra
Domain dari fungsi	$(0,\infty )$
Daerah hasil fungsi	$(-\infty ,\infty )$
Nilai-nilai spesifik
Nilai di $+\infty$	$\infty$
Nilai maksimum	Tiada
Nilai minimum	Tiada
Sifat khusus
Akar	$1$
Invers	$x=b^{y}$
Turunan	${\frac {1}{x\ln b}}$
Antiturunan	$x\log _{b}x-{\frac {x}{\ln b}}+C$

Sifat asas

Sifat remeh

Salah satu yang paling asas dalam identiti logaritma, ialah $^{b}\!\log b=1$, kerana $b^{1}=b$. Terdapat sifat asas lain, iaitu

• $^{b}\!\log 1=0$, kerana $b^{0}=1$.
• $^{b}\!\log b^{n}=n$.

Sebagai pengecualian, logaritma dengan $b=0$ tidak memiliki nilai. Hasil had dari $^{b}\!\log 0=-\infty$ ketika $b\to 0^{+}$. Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

Pendaraban dan pembahagian

• $^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y$

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Misalnya $^{b}\!\log x=u$ dan $^{b}\!\log y=v$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $x=b^{u}$ dan $y=b^{v}$. Maka, $xy=b^{u+v}$. Ambil logaritma asas $a$ pada kedua ruas sehingga $^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log x^{u+v}=u+v=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y\quad \blacksquare$.

Sifat ini boleh digeneralisasikan kepada kes di mana numerus ialah hasil darab banyak istilah,

$^{b}\!\log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\,^{b}\!\log x_{i}$.

• $^{b}\!\log \left({\frac {x}{y}}\right)=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y$

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Misalnya $^{b}\!\log x=u$ dan $^{b}\!\log y=v$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $x=b^{u}$ dan $y=b^{v}$. Maka, ${\frac {x}{y}}=a^{u-v}$ Ambil logaritma asas $a$ pada kedua ruas sehingga $^{b}\!\log {\frac {x}{y}}=\,^{b}\!\log x^{u-v}=u-v=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y\quad \blacksquare$.Templat:Butuh rujukan

Penambahan dan pengurangan

• $^{b}\!\log(x+y)=\,^{b}\!\log(x)+\,^{b}\!\log \left(1+{\frac {y}{x}}\right)$
• $^{b}\!\log(x-y)=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log \left(1-{\frac {y}{x}}\right)$

Lebih umumnya lagi,

$^{b}\!\log \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(1+\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(1+\sum _{i=1}^{n}b^{\left(^{b}\!\log x_{i}-^{b}\!\log x_{0}\right)}\right)$.

Perubahan asas

Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai

$^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}$

dengan syarat $0<p<1$ dan $p>1$ dan $p\neq 1$, dengan mengikuti definisi logaritma.

Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Misal $^{b}\!\log x=y$. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh $b^{y}=x$. Maka, kita tuliskan sebagai $^{p}\!\log x=^{p}\!\log b^{y}$ Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka ${\begin{aligned}^{p}\!\log x&=y\,^{p}\!\log b\\y&={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}\end{aligned}}$ Substitusi kembali sehingga didapati $^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}\quad \blacksquare$.

Pembahagian dan pembahagian dalam asas logaritma

• $\log _{bc}(x)={\frac {1}{{\frac {1}{\log _{b}(x)}}+{\frac {1}{\log _{c}(x)}}}}$
• $\log _{\frac {b}{c}}(x)={\frac {1}{{\frac {1}{\log _{b}(x)}}-{\frac {1}{\log _{c}(x)}}}}$

Pertukaran asas

Pertukaran asas pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

$^{b}\!\log x={\frac {1}{^{x}\!\log b}}$.

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Dengan menggunakan sifat perubahan basis, maka kita dapat memisalkan $p=x$ akan memperoleh $^{b}\!\log x={\frac {^{x}\!\log x}{^{x}\!\log b}}={\frac {1}{^{x}\!\log b}}$. $\blacksquare$Templat:Butuh rujukan

Logaritma dalam eksponen

• $x^{\frac {\log(\log x)}{\log x}}=\log x$ atau $x^{\frac {\log a}{\log x}}=a$

Klik 'tampil' untuk melihat bukti
Menggunakan sifat perubahan asas, akan memperoleh $x^{\frac {\log a}{\log x}}=x^{^{x}\!\log a}=a$. $\blacksquare$

Pendekatan logaritma

• $\log x\approx {\frac {x^{x}-1}{x}}$
• $\log(1+x)\approx x$

Bentuk pecahan berlanjut

Logaritma semula jadi

• $\ln(1+x)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}$

• $\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}$

Pautan luar

• Logarithm in Mathwords