Wikipedia

Aryabhata

Aryabhata (ISO: Āryabhaṭa) atau Aryabhata I[4][5] (476–550 M)[3][6] ialah seorang ahli matematik, fizik dan ahli astronomi India pada zaman klasik matematik India dan astronomi India. Beliau hidup semasa zaman Gupta, dan menghasilkan karya seperti Aryabhatiya (yang menyebut bahawa pada Kali Yuga 3600, 499 M, beliau berumur 23 tahun)[7] dan Arya-siddhanta.

Āryabhaṭa
Patung Aryabhata di Pune
Kelahirans. 476 M
Asmaka (kini Maharashtra-Telangana)[1][2]
Meninggal dunia550 M[3]
Pataliputra, Empayar Gupta (kini Patna)
Latar belakang akademik
PengaruhSurya Siddhanta
Karya akademik
EraZaman Gupta
Minat lainMatematik, astronomi
Karya terkenalĀryabhaṭīya, Arya-siddhanta
Idea terkenalPenerangan gerhana, putaran Bumi, cahaya Bulan, fungsi sinus, penyelesaian persamaan kuadratik pemboleh ubah tinggal, penganggaran nilai pi, diameter Bumi, pengukuran tempoh tahun sidereal
DipengaruhiBhaskara I, Brahmagupta, Varahamihira, Lalla, keilmuan sains Kerala dan Islam

Aryabhata mencipta sistem tatatanda nombor fonemik, di mana nombor diwakili oleh konsonan-vokal monosuku kata. Pengulas kemudiannya seperti Brahmagupta membahagikan karyanya kepada Ganita ("Matematik"), Kalakriya ("Pengiraan Masa") dan Golapada ("Astronomi Sfera"). Matematik tulen beliau membincangkan topik seperti penentuan punca kuasa dua dan tiga, angka geometri dengan sifat dan ukurannya, masalah janjang aritmetik pada paku bayang, persamaan kuadratik, persamaan linear dan tak tentu. Aryabhata mengira nilai pi (π) hingga digit perpuluhan keempat, dan berkemungkinan menyedari bahawa pi (π) ialah nombor bukan nisbah, sekitar 1300 tahun sebelum Lambert membuktikan perkara yang sama.[8] Jadual sinus Aryabhata dan karyanya mengenai trigonometri sangat berpengaruh pada Zaman Keemasan Islam; karya beliau telah diterjemahkan ke dalam bahasa Arab dan mempengaruhi al-Khawarizmi dan al-Zarqali.[9][10] Dalam astronomi sferanya, beliau menggunakan trigonometri satah pada geometri sfera dan memberikan pengiraan pada gerhana matahari dan bulan. Beliau mendapati bahawa pergerakan bintang yang kelihatan ke arah barat adalah disebabkan oleh putaran sfera Bumi terhadap paksinya sendiri. Aryabhata juga menyatakan bahawa kilauan Bulan dan planet lain adalah disebabkan oleh cahaya matahari yang dipantulkan.[11]

Biografi sunting

Nama sunting

Walaupun terdapat kecenderungan untuk salah mengeja namanya sebagai "Aryabhatta" dengan analogi dengan nama lain yang mempunyai akhiran "bhatta", nama Aryabhata sememangnya ejaan betul: setiap teks astronomi mengeja namanya demikian,[12] termasuk rujukan Brahmagupta kepadanya "di lebih daripada seratus tempat mengikut nama".[2] Tambahan pula, dalam kebanyakan keadaan "Aryabhatta" juga tidak sesuai.[12]

Masa dan tempat lahir sunting

Aryabhata menyebut dalam Aryabhatiya bahawa beliau berumur 23 tahun 3,600 tahun ke dalam Kali Yuga, tetapi ini tidak bermakna bahawa teks itu dikarang pada masa itu. Tahun yang disebutkan ini sepadan dengan 499 M, dan membayangkan bahawa beliau dilahirkan pada 476 M.[6]

Hipotesis lain sunting

Bhāskara I menggambarkan Aryabhata sebagai āśmakiya, "seorang kepunyaan negara Aśmaka." Pada zaman Buddha, satu cabang orang Aśmaka menetap di wilayah antara sungai Narmada dan Godavari di India tengah.[12][13]

Telah didakwa bahawa aśmaka (Sanskrit untuk "batu") di mana Aryabhata berasal mungkin Kodungallur masa kini yang merupakan ibu kota bersejarah Thiruvanchikkulam dalam Kerala purba.[14] Ini berdasarkan kepercayaan bahawa Koṭuṅṅallūr lebih awal dikenali sebagai Koṭum-Kal-l-ūr ("kota batu-batu keras"); namun, rekod lama menunjukkan bahawa bandar itu sebenarnya adalah Koṭum-kol-ūr ("kota pemerintahan yang ketat"). Begitu juga, fakta bahawa beberapa ulasan tentang Aryabhatiya berasal dari Kerala telah digunakan untuk mencadangkan bahawa ia adalah tempat utama kehidupan dan aktiviti Aryabhata; namun, banyak ulasan telah datang dari luar Kerala, dan Aryasiddhanta tidak diketahui sepenuhnya di Kerala.[12] K. Chandra Hari telah berhujah untuk hipotesis Kerala berdasarkan bukti astronomi.[15]

Aryabhata menyebut "Lanka" beberapa kali dalam Aryabhatiya, tetapi "Lanka" beliau adalah abstrak, bererti satu titik di khatulistiwa pada longitud yang sama dengan Ujjayin beliau .[16]

Pendidikan sunting

Agak pasti, pada satu ketika, beliau pergi ke Kusumapura untuk melanjutkan pelajaran dan tinggal di sana buat seketika.[17] Kedua-dua tradisi Hindu dan Buddha, serta Bhāskara I (629 M), mengenal pasti Kusumapura sebagai Pāṭaliputra, Patna moden.[12] Sebuah ayat menyebutkan bahawa Aryabhata adalah ketua sebuah institusi (kulapa) di Kusumapura, dan oleh kerana universiti Nalanda terletak berhampiran Pataliputra pada masa itu dan mempunyai sebuah balai cerap astronomi, ia membuat spekulasi bahawa Aryabhata mungkin ketua universiti Nalanda juga.[12] Aryabhata juga dikatakan telah menubuhkan sebuah balai cerap di kuil Matahari di Taregana, Bihar.[18]

Karya sunting

Aryabhata ialah pengarang beberapa risalah mengenai matematik dan astronomi, dengan beberapa daripadanya telah hilang.

Karya utamanya, Aryabhatiya, ringkasan matematik dan astronomi, banyak dirujuk dalam kesusasteraan matematik India dan telah bertahan hingga ke zaman moden. Bahagian matematik Aryabhatiya meliputi aritmetik, algebra, trigonometri satah, dan trigonometri sfera. Ia juga mengandungi ilmu pecahan bersambung, persamaan kuadratik, siri jumlah kuasa dan jadual sinus.

Arya-siddhanta, karya yang hilang dalam pengiraan astronomi, diketahui melalui tulisan kontemporari Aryabhata, Varahamihira, serta ahli matematik dan pengulas, termasuk Brahmagupta dan Bhaskara I. Karya ini nampaknya berdasarkan Surya Siddhanta yang lebih tua dan menggunakan perhitungan tengah malam, berbanding matahari terbit dalam Aryabhatiya. Ia juga mengandungi penerangan beberapa alat astronomi: paku bayang (shanku-yantra), alat bayang-bayang (chhAyA-yantra), mungkin alat pengukur sudut, separuh bulatan dan bulat penuh (dhanur-yantra / chakra-yantra), kayu silinder (yasti-yantra), peranti berbentuk payung yang dipanggil chhatra-yantra, dan jam air sekurang-kurangnya dua jenis, berbentuk busur dan silinder.[13]

Teks ketiga, yang mungkin kekal dalam terjemahan bahasa Arab, ialah Al ntf atau Al-nanf. Ia mendakwa bahawa ia adalah terjemahan oleh Aryabhata, tetapi nama Sanskrit karya ini tidak diketahui. Mungkin berasal dari abad ke-9, ia disebut oleh ulama Parsi dan penulis sejarah India, Abū Rayhān al-Bīrūnī.[13]

Aryabhatiya sunting

Butiran langsung karya Aryabhata hanya diketahui daripada Aryabhatiya. Nama "Aryabhatiya" diberi oleh pengulas kemudian. Aryabhata sendiri mungkin tidak memberikannya nama. Muridnya Bhaskara I memanggilnya Ashmakatantra (atau risalah dari Ashmaka). Ia juga kadang-kadang dirujuk sebagai Arya-shatas-aShTa (harfiahnya, Aryabhata 108) kerana terdapat 108 ayat dalam teks. Ia ditulis dalam gaya sangat ringkas seperti kelaziman kesusasteraan sutra, di mana setiap baris ialah bantuan ingatan bagi sistem yang kompleks. Oleh itu, penghuraian makna adalah berdasarkan pentafsir. Teks ini terdiri daripada 108 ayat dan 13 ayat pendahuluan, dan dibahagikan kepada empat pāda atau bab:

  1. Gitikapada : (13 ayat): unit masa yang besar—kalpa, manvantra, dan yuga—yang mengemukakan kosmologi yang berbeza daripada teks terdahulu seperti Vedanga Jyotisha karya Lagadha (sekitar abad ke-1 SM). Terdapat juga jadual sinus (jya), diberikan dalam satu ayat. Tempoh revolusi planet semasa mahayuga diberikan sebagai 4.32 juta tahun.
  2. Ganitapada (33 ayat): meliputi sukatan (kṣetra vyāvahāra), janjang aritmetik dan geometri, paku bayang (shanku-chhAyA), persamaan ringkas, kuadratik, serentak dan tak tentu (kuṭṭaka).
  3. Kalakriyapada (25 ayat): unit masa yang berbeza dan kaedah untuk menentukan kedudukan planet untuk hari tertentu, pengiraan mengenai bulan interkalari (adhikamAsa), kShaya-tithi, dan minggu tujuh hari dengan nama bagi hari-hari minggu.
  4. Golapada (50 ayat): Aspek geometri/trigonometri sfera cakerawala, ciri ekliptik, khatulistiwa cakerawala, nod, bentuk bumi, punca siang dan malam, kenaikan tanda zodiak di ufuk, dsb. Di samping itu, beberapa versi memetik beberapa kolofon yang ditambahkan pada penghujungnya, memuji kebaikan karya itu, dsb.

Aryabhatiya mempersembahkan beberapa inovasi dalam matematik dan astronomi dalam bentuk ayat, yang berpengaruh selama berabad-abad. Singkatnya teks yang melampau telah dihuraikan dalam ulasan oleh muridnya Bhaskara I (Bhashya, s. 600 M), dan oleh Nilakantha Somayaji dalam Aryabhatiya Bhasya, (1465 M).

Matematik sunting

Sistem nilai tempat dan sifar sunting

Sistem nilai tempat, pertama kali dilihat dalam manuskrip Bakhshali abad ke-3, jelas diterapkan dalam karyanya. Walaupun beliau tidak menggunakan simbol sifar, ahli matematik Perancis Georges Ifrah berpendapat bahawa pengetahuan tentang sifar adalah tersirat dalam sistem nilai tempat Aryabhata sebagai pemegang tempat untuk kuasa sepuluh dengan pekali nol.[19]

Walau bagaimanapun, Aryabhata tidak menggunakan angka Brahmi. Meneruskan tradisi Sanskrit dari zaman Veda, beliau menggunakan huruf abjad untuk menunjukkan nombor, menyatakan kuantiti, seperti jadual sinus dalam bentuk mnemonik.[20]

Anggaran pi sunting

Aryabhata mengusahakan anggaran untuk pi (π), dan mungkin telah membuat kesimpulan bahawa π adalah tidak rasional. Dalam bahagian kedua Aryabhatiyam (gaṇitapāda 10), beliau menulis:

caturadhikaṃ śatamaṣṭaguṇaṃ dvāṣaṣṭistathā sahasrāṇām
ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ.

"Tambah empat dengan 100, darab lapan, dan kemudian tambah 62,000. Dengan peraturan ini, lilitan bulatan dengan diameter 20,000 boleh didekati."[21]

Ini menunjukkan bahawa untuk bulatan dengan diameter diandai ialah 20000, lilitannya ialah 62832,

iaitu,  , yang tepat kepada tiga tempat perpuluhan.[22]

Adalah spekulasi bahawa Aryabhata menggunakan perkataan āsanna (mendekati), untuk bermaksud bahawa ini bukan sahaja anggaran tetapi nilainya tidak boleh dibandingkan (atau tidak rasional). Jika ini benar, ia adalah pandangan yang agak canggih kerana ciri pi ini hanya dibuktikan di Eropah pada 1761 oleh Lambert.[23]

Selepas Aryabhatiya diterjemahkan ke dalam bahasa Arab (820 M) anggaran ini telah disebut dalam buku al-Khwarizmi tentang algebra.[13]

Trigonometri sunting

Dalam Ganitapada 6, Aryabhata memberikan luas segi tiga sebagai

tribhujasya phalaśarīraṃ samadalakoṭī bhujārdhasaṃvargaḥ

yang diterjemahkan kepada: "bagi seg itiga, hasil serenjang dengan separuh sisi ialah luas."[24]

Aryabhata membincangkan konsep sinus dalam karyanya dengan nama ardha-jya, yang secara harfiah bermaksud "separuh kord". Sebagai ringkasan, orang mula memanggilnya jya. Apabila penulis Arab menterjemah karya beliau dari bahasa Sanskrit ke dalam bahasa Arab, mereka merujuknya sebagai jiba. Walau bagaimanapun, dalam tulisan Arab, vokal dihilangkan, dan ia disingkatkan sebagai jb. Penulis kemudiannya menggantikannya dengan jaib, yang bermaksud "poket" atau "lipat (dalam pakaian)". (Dalam bahasa Arab, jiba tiada sebarang makna.) Kemudian pada abad ke-12, apabila Gherardo dari Cremona menterjemah tulisan-tulisan ini daripada bahasa Arab ke dalam bahasa Latin, beliau menggantikan jaib Arab dengan bahasa Latin, sinus; dari sinilah muncul perkataan Inggeris sine.[25]

Persamaan tak tentu sunting

Masalah yang sangat diminati oleh ahli matematik India sejak zaman purba ialah mencari penyelesaian integer bagi persamaan Diophantine yang mempunyai bentuk ax + by = c. (Masalah ini juga dikaji dalam matematik Cina kuno, dan penyelesaiannya biasanya dirujuk sebagai teorem baki Cina.) Ini adalah contoh dari ulasan Bhāskara tentang Aryabhatiya:

Cari nombor yang memberikan 5 sebagai baki apabila dibahagikan dengan 8, 4 sebagai baki apabila dibahagi dengan 9, dan 1 sebagai baki apabila dibahagikan dengan 7

Iaitu, cari N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Ternyata nilai terkecil untuk N ialah 85. Secara umum, persamaan Diophantine, seperti ini, boleh menjadi sangat sukar. Ia telah dibincangkan secara meluas dalam teks Veda kuno, Sulba Sutra, dengan bahagiannya yang lebih kuno mungkin bertarikh kira-kira 800 SM. Kaedah Aryabhata untuk menyelesaikan masalah sedemikian, yang dihuraikan oleh Bhaskara pada 621 M, dipanggil kaedah kuṭṭaka (कुट्टक). Kuṭṭaka bermaksud "menghancurkan" atau "memecah menjadi kepingan kecil", dan kaedahnya melibatkan algoritma rekursif untuk menulis faktor asal dalam nombor yang lebih kecil. Algoritma ini menjadi kaedah piawai untuk menyelesaikan persamaan Diophantine peringkat pertama dalam matematik India, dan pada mulanya keseluruhan subjek algebra dipanggil kuṭṭaka-gaṇita atau ringkasnya kuṭṭaka.[26]

Algebra sunting

Dalam Aryabhatiya, Aryabhata memberikan hasil elegan dalam penjumlahan siri petak dan kubus:[27]

 

dan

  (lihat nombor segi tiga kuasa dua)

Astronomi sunting

Sistem astronomi Aryabhata dipanggil sistem audAyaka, di mana hari dikira dari uday, fajar di lanka atau "khatulistiwa". Beberapa tulisannya yang terkemudian mengenai astronomi, yang nampaknya mencadangkan model kedua (atau ardha-rAtrikA, tengah malam) telah hilang, tetapi sebahagiannya boleh dibina semula daripada perbincangan dalam Khandakhadyaka karya Brahmagupta. Dalam beberapa teks, beliau seolah-olah mengaitkan pergerakan jelas langit dengan putaran Bumi. Beliau mungkin percaya bahawa orbit planet itu berbentuk elips dan bukannya bulat.[28][29]

Pergerakan sistem suria sunting

Aryabhata dengan betul menegaskan bahawa bumi berputar pada paksinya setiap hari, dan bahawa pergerakan jelas bintang-bintang adalah gerakan relatif yang disebabkan oleh putaran bumi, bertentangan dengan pandangan yang berlaku ketika itu, bahawa langit yang berputar.[22] Ini ditunjukkan dalam bab pertama Aryabhatiya, di mana beliau memberikan bilangan putaran bumi dalam yuga,[30] dan dibuat lebih jelas dalam bab gola-nya:[31]

Dengan cara yang sama seperti seseorang dalam bot yang menuju ke hadapan melihat [objek] yang tidak bergerak ke belakang, jadi [seseorang] di khatulistiwa melihat bintang yang tidak bergerak bergerak seragam ke arah barat. Punca timbul dan terbenam [ialah] sfera bintang bersama-sama dengan planet [nampaknya?] berpusing ke barat di khatulistiwa, sentiasa ditolak oleh angin kosmik.

Aryabhata menerangkan model geosentrik sistem suria, di mana Matahari dan Bulan masing-masing dibawa oleh epikitaran. Jasad-jasad itu pula berputar mengelilingi Bumi. Dalam model ini, yang juga terdapat dalam Paitāmahasiddhānta (s. 425 M), pergerakan planet masing-masing dikawal oleh dua epikitaran, manda yang lebih kecil (perlahan) dan śīghra yang lebih besar (cepat).[32] Susunan planet dari segi jarak dari bumi diambil sebagai: Bulan, Utarid, Zuhrah, Matahari, Marikh, Musytari, Zuhal, dan asterisme."[13]

Kedudukan dan tempoh planet-planet dikira secara relatif kepada titik-titik yang bergerak secara seragam. Dalam kes Mercury dan Venus, mereka bergerak mengelilingi Bumi pada kelajuan min yang sama seperti Matahari. Dalam kes Marikh, Musytari dan Zuhal, mereka bergerak mengelilingi Bumi pada kelajuan tertentu, mewakili pergerakan setiap planet melalui zodiak. Kebanyakan ahli sejarah astronomi menganggap bahawa model dua epikitaran ini mencerminkan unsur-unsur astronomi Yunani pra-Ptolemy.[33] Satu lagi elemen dalam model Aryabhata, śīghrocca, tempoh planet asas berhubung dengan Matahari, dilihat oleh sesetengah ahli sejarah sebagai tanda model heliosentrik yang mendasari.[34]

Gerhana sunting

Gerhana matahari dan bulan dijelaskan secara saintifik oleh Aryabhata. Beliau menyatakan bahawa Bulan dan planet bersinar oleh cahaya matahari yang dipantulkan. Daripada kosmogoni yang berlaku di mana gerhana disebabkan oleh Rahu dan Ketu (dikenal pasti sebagai nod bulan pseudoplanet), beliau menerangkan gerhana dari segi bayang-bayang yang dibuang dan jatuh di Bumi. Oleh itu, gerhana bulan berlaku apabila Bulan masuk ke dalam bayang-bayang Bumi (gola 37). Beliau membincangkan dengan panjang lebar saiz dan keluasan bayang-bayang Bumi (gola 38–48), dan kemudian memberikan pengiraan dan saiz bahagian yang gerhana semasa gerhana. Kemudian, ahli astronomi India bertambah baik dalam pengiraan, tetapi kaedah Aryabhata menyediakan asasnya. Paradigma pengiraannya sangat tepat sehingga saintis abad ke-18 Guillaume Le Gentil, semasa lawatan ke Pondicherry, India, mendapati pengiraan India bagi tempoh gerhana bulan pada 30 Ogos 1765 tersasar sebanyak 41 saat, manakala cartanya (oleh Tobias Mayer, 1752) tersasar sebanyak 68 saat.[13]

Tempoh sidereal sunting

Dalam andaian unit masa Inggeris moden, Aryabhata mengira putaran sidereal (putaran bumi yang merujuk bintang tetap) sebagai 23 jam, 56 minit dan 4.1 saat;[35] nilai moden ialah 23:56:4.091. Begitu juga, nilainya bagi panjang tahun sidereal pada 365 hari, 6 jam, 12 minit dan 30 saat (365.25858 hari),[36] tersasar 3 minit dan 20 saat sepanjang tempoh setahun (365.25636 hari).[37]

Heliosentrisme sunting

Seperti yang disebutkan, Aryabhata menganjurkan model astronomi di mana Bumi berputar pada paksinya sendiri. Model beliau juga memberikan pembetulan (anomali śīgra) untuk kelajuan planet di langit dari segi kelajuan purata Matahari. Oleh itu, telah dicadangkan bahawa pengiraan Aryabhata adalah berdasarkan model heliosentrik asas, di mana planet-planet mengorbit Matahari,[38][39][40] walaupun ini telah disangkal.[41] Ia juga telah dicadangkan bahawa aspek sistem Aryabhata mungkin telah diperolehi daripada model Yunani pra-Ptolemy yang lebih awal, yang mungkin tidak diketahui oleh ahli astronomi India,[42] walaupun buktinya kurang.[43] Konsensus umum adalah bahawa anomali sinodik (bergantung pada kedudukan Matahari) tidak membayangkan orbit heliosentrik secara fizikal (pembetulan sedemikian juga terdapat dalam teks astronomi Babylon lewat ), dan sistem Aryabhata tidak heliosentrik secara khusus.[44]

Rujukan sunting

  1. ^ "Archived copy" (PDF). www.new.dli.ernet.in. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 31 Mac 2010. Dicapai pada 1 September 2022.CS1 maint: archived copy as title (link)
  2. ^ a b Bhau Daji (1865). "Brief Notes on the Age and Authenticity of the Works of Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta, Bhattotpala, and Bhaskaracharya". Journal of the Royal Asiatic Society of Great Britain and Ireland. m/s. 392–406.
  3. ^ a b Bharati Ray (1 September 2009). Different Types of History. Pearson Education India. m/s. 95–. ISBN 978-81-317-1818-6.
  4. ^ O'Connor, J J; Robertson, E F. "Aryabhata the Elder". www-history.mcs.st-andrews.ac.uk. Diarkibkan daripada yang asal pada 11 Julai 2015. Dicapai pada 18 Julai 2012.
  5. ^ Britannica Educational Publishing (15 Ogos 2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement. The Rosen Publishing Group. m/s. 97–. ISBN 978-1-61530-218-5.
  6. ^ a b B. S. Yadav (28 Oktober 2010). Ancient Indian Leaps into Mathematics. Springer. m/s. 88. ISBN 978-0-8176-4694-3.
  7. ^ Heidi Roupp (1997). Teaching World History: A Resource Book. M.E. Sharpe. m/s. 112–. ISBN 978-1-56324-420-9.
  8. ^ Puttaswamy, T. K. (2012-09-10). Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians (dalam bahasa Inggeris). Newnes. ISBN 978-0-12-397913-1.
  9. ^ Divakaran, P. P. (2018-09-19). The Mathematics of India: Concepts, Methods, Connections (dalam bahasa Inggeris). Springer. ISBN 978-981-13-1774-3.
  10. ^ Rashed, R. (2013-04-18). The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra (dalam bahasa Inggeris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-017-3274-1.
  11. ^ "Aryabhata | Achievements, Biography, & Facts | Britannica". www.britannica.com (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2022-01-24.
  12. ^ a b c d e f K. V. Sarma (2001). "Āryabhaṭa: His name, time and provenance" (PDF). Indian Journal of History of Science. 36 (4): 105–115. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 31 Mac 2010.
  13. ^ a b c d e f Ansari, S.M.R. (March 1977). "Aryabhata I, His Life and His Contributions". Bulletin of the Astronomical Society of India. 5 (1): 10–18. Bibcode:1977BASI....5...10A.
  14. ^ Menon (2009). An Introduction to the History and Philosophy of Science. Pearson Education India. m/s. 52. ISBN 978-81-317-2890-1.
  15. ^ Radhakrishnan Kuttoor (25 Jun 2007), "Aryabhata lived in Ponnani?", The Hindu, diarkibkan daripada yang asal pada 1 Julai 2007
  16. ^ Lihat Clark 1930 dan S. Balachandra Rao (2000). Indian Astronomy: An Introduction. Orient Blackswan. m/s. 82. ISBN 978-81-7371-205-0.
  17. ^ Cooke (1997). "The Mathematics of the Hindus". History of Mathematics: A Brief Course. m/s. 204. ISBN 9780471180821. Aryabhata himself (one of at least two mathematicians bearing that name) lived in the late 5th and the early 6th centuries at Kusumapura (Pataliutra, a village near the city of Patna) and wrote a book called Aryabhatiya.
  18. ^ "Get ready for solar eclipse" (PDF). National Council of Science Museums, Ministry of Culture, Government of India. Diarkibkan daripada yang asal (PDF) pada 21 Julai 2011. Dicapai pada 9 Disember 2009.
  19. ^ George. Ifrah (1998). A Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. London: John Wiley & Sons.
  20. ^ Dutta, Bibhutibhushan; Singh, Avadhesh Narayan (1962). History of Hindu Mathematics. Asia Publishing House, Bombay. ISBN 81-86050-86-8.
  21. ^ Jacobs, Harold R. (2003). Geometry: Seeing, Doing, Understanding (ed. Third). New York: W.H. Freeman and Company. m/s. 70. ISBN 0-7167-4361-2.
  22. ^ a b How Aryabhata got the earth's circumference right Diarkibkan 15 Januari 2017 di Wayback Machine
  23. ^ S. Balachandra Rao (1998) [First published 1994]. Indian Mathematics and Astronomy: Some Landmarks. Bangalore: Jnana Deep Publications. ISBN 81-7371-205-0.
  24. ^ Roger Cooke (1997). "The Mathematics of the Hindus". History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-18082-3. Aryabhata gave the correct rule for the area of a triangle and an incorrect rule for the volume of a pyramid. (He claimed that the volume was half the height times the area of the base.)
  25. ^ Howard Eves (1990). An Introduction to the History of Mathematics (ed. 6). Saunders College Publishing House, New York. m/s. 237.
  26. ^ Amartya K Dutta, "Diophantine equations: The Kuttaka" Diarkibkan 2 November 2014 di Wayback Machine, Resonance, Oktober 2002.
  27. ^ Boyer, Carl B. (1991). "The Mathematics of the Hindus". A History of Mathematics (ed. Second). John Wiley & Sons, Inc. m/s. 207. ISBN 0-471-54397-7. He gave more elegant rules for the sum of the squares and cubes of an initial segment of the positive integers. The sixth part of the product of three quantities consisting of the number of terms, the number of terms plus one, and twice the number of terms plus one is the sum of the squares. The square of the sum of the series is the sum of the cubes.
  28. ^ J. J. O'Connor and E. F. Robertson, Aryabhata the Elder Diarkibkan 19 Oktober 2012 di Wayback Machine, MacTutor History of Mathematics archive:

    "He believes that the Moon and planets shine by reflected sunlight, incredibly he believes that the orbits of the planets are ellipses."
  29. ^ Hayashi (2008), Aryabhata I
  30. ^ Aryabhatiya 1.3ab, see Plofker 2009, p. 111.
  31. ^ [achalAni bhAni samapashchimagAni ... – golapAda.9–10].
  32. ^ Pingree, David (1996). "Astronomy in India". Dalam Walker, Christopher (penyunting). Astronomy before the Telescope. London: British Museum Press. m/s. 123–142. ISBN 0-7141-1746-3.
  33. ^ Otto Neugebauer, "The Transmission of Planetary Theories in Ancient and Medieval Astronomy," Scripta Mathematica, 22 (1956), pp. 165–192; reprinted in Otto Neugebauer, Astronomy and History: Selected Essays, New York: Springer-Verlag, 1983, pp. 129–156. ISBN 0-387-90844-7
  34. ^ Hugh Thurston, Early Astronomy, New York: Springer-Verlag, 1996, pp. 178–189. ISBN 0-387-94822-8
  35. ^ R.C.Gupta (31 Julai 1997). "Āryabhaṭa". Dalam Helaine Selin (penyunting). Encyclopaedia of the history of science, technology, and medicine in non-western cultures. Springer. m/s. 72. ISBN 978-0-7923-4066-9.
  36. ^ Ansari, p. 13, Table 1
  37. ^ Aryabhatiya Bahasa Marathi: आर्यभटीय, Mohan Apte, Pune, India, Rajhans Publications, 2009, p.25, ISBN 978-81-7434-480-9
  38. ^ The concept of Indian heliocentrism has been advocated by B. L. van der Waerden, Das heliozentrische System in der griechischen, persischen und indischen Astronomie.
  39. ^ B.L. van der Waerden, "The Heliocentric System in Greek, Persian and Hindu Astronomy", in David A. King and George Saliba, ed., From Deferent to Equant: A Volume of Studies in the History of Science in the Ancient and Medieval Near East in Honor of E. S. Kennedy, Annals of the New York Academy of Science, 500 (1987), pp. 529–534.
  40. ^ Hugh Thurston (1996). Early Astronomy. Springer. m/s. 188. ISBN 0-387-94822-8.
  41. ^ Noel Swerdlow, "Review: A Lost Monument of Indian Astronomy," Isis, 64 (1973): 239–243.
  42. ^ Walaupun Aristarchus dari Samos (abad ke-3 SM) dikreditkan dengan memegang teori heliosentrik, versi astronomi Yunani yang dikenali di India purba sebagai Paulisa Siddhanta tidak merujuk kepada teori sedemikian.
  43. ^ Dennis Duke, "The Equant in India: The Mathematical Basis of Ancient Indian Planetary Models."
  44. ^ Kim Plofker (2009). Mathematics in India. Princeton, NJ: Princeton University Press. m/s. 111. ISBN 978-0-691-12067-6.

Karya dipetik sunting

Diambil daripada "https://ms.wikipedia.org/w/index.php?title=Aryabhata&oldid=5786392"