Pi

(Dilencongkan daripada Π)
Sistem nombor matematik 
Asas

Nombor asli
Nombor negatif
Integer
Nombor nisbah
Nombor bukan nisbah
Nombor nyata
Nombor khayalan
Nombor kompleks
Nombor algebra
Nombor transenden

Perluasan kompleks

Nombor dwikompleks
Nombor hiperkompleks
Kuaternion
Kokuaternion
Bikuaternion
Oktonion
Sedenion
Tesarina
Hipernombor
Nombor supernyata
Nombor hipernyata
Nombor sureal

Lain-lain

Nombor kompleks belah
Nombor bersiri
Nombor melampaui terhingga
Nombor ordinal
Nombor kardinal
Nombor perdana
Nombor p-adik
Nombor boleh bina
Nombor boleh kira
Jujukan integer
Pemalar matematik
Nombor besar
Pi
Nombor Euler
Unit khayalan
Ketakterhinggaan

Nombor π (/paɪ/) ialah pemalar matematik iaitu nisbah lilitan bulatan kepada diameternya, lebih kurang sama dengan 3.14159. Nombor π muncul dalam banyak formula merentas matematik dan fizik. Ia adalah nombor bukan nisbah, bermakna ia tidak boleh dinyatakan dengan tepat sebagai nisbah dua integer, walaupun pecahan seperti biasanya digunakan untuk menganggarkannya.

Akibatnya, perwakilan perpuluhannya tidak pernah berakhir, atau memasuki corak berulang secara kekal. Ia ialah nombor transenden, bermakna ia tidak boleh menjadi penyelesaian bagi persamaan yang melibatkan hanya jumlah terhingga, hasil darab, kuasa dan integer. Transendensi membayangkan bahawa adalah mustahil untuk menyelesaikan cabaran purba untuk mengkuadratkan bulatan dengan kompas dan garis lurus. Digit perpuluhan nampaknya diedarkan secara rawak, tetapi tiada bukti konjektur ini ditemui.

Selama beribu-ribu tahun, ahli matematik telah cuba meluaskan pemahaman mereka tentang , kadangkala dengan mengira nilainya kepada tahap ketepatan yang tinggi. Tamadun purba, termasuk orang Mesir dan Babylon, memerlukan anggaran yang agak tepat untuk pengiraan praktikal. Sekitar 250 SM, ahli matematik Yunani Archimedes mencipta algoritma untuk menganggarkan dengan ketepatan sewenang-wenangnya. Pada abad ke-5 Masihi, ahli matematik Cina menganggarkan kepada tujuh digit, manakala ahli matematik India membuat anggaran lima digit, kedua-duanya menggunakan teknik geometri. Formula pengiraan pertama untuk , berdasarkan siri ketakterhinggaan, ditemui satu milenium kemudian.[1][2] Penggunaan terawal huruf Yunani yang diketahui untuk mewakili nisbah lilitan bulatan kepada diameternya ialah oleh ahli matematik Wales William Jones pada tahun 1706.[3]

Penciptaan bidang kalkulus tidak lama kemudian membawa kepada pengiraan ratusan digit , cukup untuk semua pengiraan saintifik praktikal. Namun begitu, pada abad ke-20 dan ke-21, ahli matematik dan saintis komputer telah mengejar pendekatan baharu yang, apabila digabungkan dengan peningkatan kuasa pengiraan, memanjangkan perwakilan perpuluhan kepada sebanyak trilion digit.[4][5] Pengiraan ini didorong oleh pembangunan algoritma yang cekap untuk mengira siri berangka, serta usaha manusia untuk memecahkan rekod.[6][7] Pengiraan meluas yang terlibat juga telah digunakan untuk menguji superkomputer serta menguji tekanan perkakasan komputer pengguna.

Oleh kerana takrifannya berkaitan dengan bulatan, ditemui dalam banyak rumusan dalam trigonometri dan geometri, terutamanya yang berkaitan dengan bulatan, elips dan sfera. Ia juga ditemui dalam rumusan daripada topik lain dalam sains, seperti kosmologi, fraktal, termodinamik, mekanik dan elektromagnetisme. Ia juga muncul dalam bidang yang mempunyai sedikit kaitan dengan geometri, seperti teori nombor dan statistik, dan dalam analisis matematik moden boleh ditakrifkan tanpa sebarang rujukan kepada geometri. Keseluruhan menjadikannya salah satu pemalar matematik yang paling terkenal di dalam dan di luar sains.

Beberapa buku yang dikhaskan untuk telah diterbitkan, dan pengiraan penetapan rekod bagi digit sering menghasilkan tajuk berita.

Asas Pi

sunting

Simbol yang digunakan oleh ahli matematik untuk mewakili nisbah lilitan bulatan kepada diameternya ialah huruf kecil Yunani  , yang dieja sebagai pi.[8] Dalam bahasa Inggeris,   disebut sebagai "pai" (/paɪ/).[9]

Dalam penggunaan matematik, huruf kecil   dibezakan daripada huruf besar.   menandakan hasil darab jujukan, sama dengan cara   menandakan penjumlahan.

Definsi

sunting
 
  - lilitan bulatan.  - diameter bulatan.

  secara lazimnya ditakrifkan sebagai nisbah lilitan bulatan   kepada diameternya  .[10]

 

Nisbah   adalah malar, tanpa mengira saiz bulatan. Sebagai contoh, jika bulatan mempunyai dua kali diameter bulatan lain, ia juga akan mempunyai dua kali lilitan, mengekalkan nisbah  . Definisi   ini secara tersirat menggunakan geometri Euclid; walaupun tanggapan bulatan boleh dilanjutkan ke mana-mana geometri bukan Euclid, bulatan baharu ini tidak lagi memenuhi rumusan  .[10]

Di bawah, lilitan bulatan ialah panjang lengkok perimeter bulatan, suatu kuantiti yang boleh ditakrifkan secara formal tanpa geometri, menggunakan konsep had.[11] Sebagai contoh, anda boleh mengkomput secara langsung panjang lengkung di separuh atas bulatan unit, dalam koordinat Cartes dengan persamaan, dengan kamiran;[12]

 

Kamiran seperti ini telah dicadangkan sebagai definisi   oleh Karl Weierstrass, yang mentakrifkannya secara langsung sebagai kamiran pada tahun 1841.

Kamiran tidak lagi biasa digunakan dalam definisi analitikal pertama kerana, seperti yang dijelaskan dalam Remmert 2012, kalkulus pembezaan biasanya mendahului kalkulus kamiran dalam kurikulum universiti, jadi adalah wajar untuk mempunyai definisi   yang tidak bergantung pada yang terakhir. Satu definisi sedemikian, disebabkan oleh Richard Baltzer[13] dan dipopularkan oleh Edmund Landau[14][15], adalah seperti berikut:   ialah dua kali nombor positif terkecil di mana fungsi kosinus sama dengan 0.[10][12][16]   juga merupakan nombor positif terkecil di mana fungsi sinus sama dengan sifar, dan perbezaan antara sifar berturut-turut bagi fungsi sinus. Kosinus dan sinus boleh ditakrifkan secara bebas daripada geometri sebagai siri kuasa,[17] atau sebagai penyelesaian persamaan pembezaan.[16]

Serta itu,   boleh ditakrifkan menggunakan sifat eksponen kompleks,  , pemboleh ubah kompleks  . Seperti kosinus, eksponen kompleks boleh ditakrifkan dalam salah satu daripada beberapa cara. Set nombor kompleks di mana   bersamaan dengan   kemudiannya merupakan janjang aritmetik (khayal) bagi bentuk:

 

...dan terdapat nombor nyata positif unik   dengan sifat ini.[12][18]

Variasi pada idea yang sama, menggunakan konsep matematik yang canggih bagi topologi dan algebra, ialah teorem berikut:[19] Terdapat isomorfisme berterusan unik (sehingga automorfisme) daripada kumpulan R/Z nombor nyata di bawah integer modulo penambahan (kumpulan bulatan), ke kumpulan pendaraban nombor kompleks nilai mutlak satu. Nombor   kemudiannya ditakrifkan sebagai separuh daripada magnitud terbitan homomorfisme ini.[20]

Ketaknisbahan dan Kenormalan

sunting

  ialah nombor bukan nisbah, bermakna ia tidak boleh ditulis sebagai nisbah dua integer. Pecahan seperti ⁠  dan   lazimnya digunakan untuk menganggarkan  , tetapi tiada pecahan sepunya (nisbah nombor bulat) boleh menjadi nilai tepatnya.[21] Oleh kerana   adalah tidak bernisbah, ia mempunyai bilangan digit yang tidak terhingga dalam perwakilan perpuluhannya, dan tidak menetap dalam pola digit berulang yang tidak terhingga. Terdapat beberapa bukti bahawa   adalah tidak bernisbah; mereka biasanya memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik reductio ad absurdum. Tahap di mana   boleh dianggarkan dengan nombor nisbah tidak diketahui dengan tepat; anggaran telah menetapkan bahawa ukuran tidak nisbah adalah lebih besar atau sekurang-kurangnya sama dengan ukuran   tetapi lebih kecil daripada ukuran nombor Liouville.[22]

Digit-digit   tidak mempunyai corak yang jelas dan telah lulus ujian untuk rawak statistik, termasuk ujian untuk kenormalan; sebilangan panjang tak terhingga dipanggil normal apabila semua jujukan digit yang mungkin (dari mana-mana panjang tertentu) muncul sama kerap. Dugaan bahawa   adalah normal masih belum dibuktikan atau disangkal.[23]

Sejak kemunculan komputer, sejumlah besar digit   telah tersedia untuk melakukan analisis statistik. Yasumasa Kanada telah melakukan analisis statistik terperinci pada digit perpuluhan  , dan mendapati ia konsisten dengan kenormalan; sebagai contoh, frekuensi sepuluh digit 0 hingga 9 tertakluk kepada ujian keertian statistik, dan tiada bukti corak ditemui.[24] Mana-mana jujukan digit rawak mengandungi urutan panjang sewenang-wenangnya yang kelihatan bukan rawak, mengikut teorem monyet tak terhingga.

Maka, kerana jujukan digit   melepasi ujian statistik untuk rawak, ia mengandungi beberapa jujukan digit yang mungkin kelihatan bukan rawak, seperti urutan enam 9 berturut-turut yang bermula pada tempat perpuluhan ke-762 bagi perwakilan perpuluhan  .[25] Ini juga dipanggil "titik Feynman", selepas Richard Feynman, walaupun tiada kaitan dengan Feynman diketahui.

Transendensi Pi

sunting

Selain bukan nisbah,   juga merupakan nombor transenden, yang bermaksud bahawa ia bukan penyelesaian sebarang persamaan polinomial tidak tetap dengan pekali bernisbah, seperti  .[26] Ini berikutan daripada teorem yang dikenali sebagai teorem Lindemann–Weierstrass, yang juga menetapkan transendensi nombor Euler.

Rujukan

sunting

Nota Penerangan

sunting
  1. Kamiran khusus yang digunakan Weierstrass ialah  

Sumber

sunting
  1. ^ Special Functions. Cambridge: University Press. 1999. ISBN 978-0-521-78988-2. |first= missing |last= (bantuan)
  2. ^ Gupta, R. C. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.
  3. ^ Jones, William (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos
  4. ^ "22.4 trillion digits of pi". pi2e.ch. Dicapai pada 2024-11-30.
  5. ^ "Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud". Google Cloud Blog (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2024-11-30.
  6. ^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). Pi - Unleashed (dalam bahasa Inggeris). Springer Science & Business Media. m/s. 7. ISBN 978-3-540-66572-4.
  7. ^ Bailey, David H.; Plouffe, Simon M.; Borwein, Peter B.; Borwein, Jonathan M. (1997-12). "The quest for PI". The Mathematical Intelligencer (dalam bahasa Inggeris). 19 (1): 50–56. doi:10.1007/BF03024340. ISSN 0343-6993. Check date values in: |date= (bantuan)
  8. ^ Oughtred, William (1652). Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario (dalam bahasa Latin). Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson.
  9. ^ "Pi | Define Pi at Dictionary.com". web.archive.org. 2014-07-28. Dicapai pada 2024-11-30.
  10. ^ a b c Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). Pi - Unleashed (dalam bahasa Inggeris). Springer Science & Business Media. m/s. 8. ISBN 978-3-540-66572-4.
  11. ^ Apostol, Tom (1967). Calculus. Vol. 1 (2nd ed.). Wiley. m/s 102.
  12. ^ a b c Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Hermes, Hans; Hirzebruch, Friedrich; Koecher, Max; Mainzer, Klaus; Neukirch, Jürgen; Prestel, Alexander; Remmert, Reinhold (2012-12-06). Numbers (dalam bahasa Inggeris). Springer Science & Business Media. m/s. 129. ISBN 978-1-4612-1005-4.
  13. ^ z6euxk7
  14. ^ Harvard University (1870). Die Elemente der Mathematik (dalam bahasa German). G. Hirzel.CS1 maint: unrecognized language (link)
  15. ^ ctkkyxr
  16. ^ a b Internet Archive, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. Auckland ; London : McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-085613-4.
  17. ^ Rudin, Walter (1986). Real and complex analysis. McGraw-Hill. p. 2.
  18. ^ Ahlfors, Lars (1966). Complex analysis. McGraw-Hill. p. 46.
  19. ^ Bourbaki, Nicolas (1981). Topologie generale. Springer. §VIII.2.
  20. ^ Bourbaki, Nicolas (1979). Fonctions d'une variable réelle (in French). Springer. §II.3.
  21. ^ "Is Pi a Rational or Irrational Number". Unacademy (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2024-11-30.
  22. ^ "V. Kh. Salikhov, "On the irrationality measure of $\pi$", Russian Math. Surveys, 63:3 (2008), 570–572". www.mathnet.ru. Dicapai pada 2024-11-30. no-break space character in |title= at position 3 (bantuan)
  23. ^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). Pi - Unleashed (dalam bahasa Inggeris). Springer Science & Business Media. m/s. 22–23. ISBN 978-3-540-66572-4.
  24. ^ https://books.google.com.my/books?id=QwwcmweJCDQC&redir_esc=y m/s 22, 28 - 30
  25. ^ https://books.google.com.my/books?id=QwwcmweJCDQC&redir_esc=y m/s 3
  26. ^ https://books.google.com.my/books?id=QwwcmweJCDQC&redir_esc=y m/s 6