Pemfaktoran

Pemfaktoran dalam matematik adalah peleraian suatu objek (misalnya, suatu nombor, polinomial, atau matriks) menjadi sepasang atau sekelompok objek lain, atau faktor, yang dapat didarabkan bersama-sama untuk menghasilkan nilai. Contohnya, bilangan 15 difaktorkan menjadi nombor perdana, 3 × 5, dan polinomial x² − 4 difaktorkan menjadi (x − 2)(x + 2).

Polinomial x² + cx + d, di mana a + b = c dan ab = d, dapat difaktorkan menjadi (x + a)(x + b).

Tujuan pemfaktoran biasanya untuk mengurangkan sesuatu nilai menjadi "blok binaan dasar", seperti nombor-nombor perdana atau polinomial teringkas. Pemfaktoran integer diatur oleh teorem dasar aritmetik dan pemfaktoran polinomial pula diatur oleh teorem asas algebra. Rumus-rumus Vièta mengaitkan pekali suatu polinomial pada akar-akarnya.

Lawan pemfaktoran polinomial adalah pengembangan, yaitu perkalian bersama-sama semua faktor polinomial menjadi suatu polinomial “dikembangkan” yang ditulis sebagai hasil daripada elemen-elemen.

Pemfaktoran juga dapat merujuk kepada dekomposisi objek matematik lain menjadi nilai objek-objek yang lebih kecil atau sederhana. Sebagai contoh, setiap fungsi dapat difaktorkan menjadi komposisi fungsi surjektif dan fungsi injektif. Matriks pula memiliki banyak jenis pemfaktoran. Sebagai contoh, setiap matriks memiliki hasil pemfaktoran LUP yang unik, dengan matriks segi tiga bawahan $L$ dengan entri pada diagonal utama bernilai 1, matriks segi tiga atas $U$, dan matriks permutasi $P$; ketiga-tiga matriks ini didapatkan dari rumus penyingkiran Gauss.

Nombor bulat

Berdasarkan teorem asas aritmetik, setiap nombor bulat yang lebih besar daripada 1 dapat menjalani pemfaktoran menjadi nombor perdana secara unik.

Ungkapan

Manipulasi ungkapan ialah satu ilmu dasar algebra. Ada beberapa alasan yang menjadikan pemfaktoran sebagai salah satu ilmu-ilmu penting dalam manipulasi algebra. Jika kita dapat menuliskan persamaan dalam bentuk yang difaktorkan $E\cdot F=0$, maka penyelesaian permasalahan (secara umumnya) menjadi lebih mudah karena kita dapat menyelesaikan masalah yang lebih ringkas $E=0$ dan $F=0$. Ketika sebuah ungkapan dapat difaktorkan, faktor-faktor tersebut umumnya lebih ringkas, dan dapat memberikan hasil dari masalah tersebut. Sebagai contoh,

$x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc$

yang secara total memiliki 16 pendaraban, 4 penolakan dan 3 penambahan, dapat difaktorkan menjadi ungkapan yang lebih ringkas,

$(x-a)(x-b)(x-c)$

yang memiliki 2 pendaraban dan 3 penolakan. Secara lebih lanjut, bentuk hasil pemfaktoran langsung memberikan fakta $x=a,\,b,\,c$ adalah akar daripada polinomial tersebut.

Matriks

Gelanggang matriks bersifat tidak komutatif dan tidak memiliki gaya pemfaktoran yang unik: ada banyak cara menulis sebuah matriks sebagai hasil perkalian matriks-matriks. Oleh itu, permasalahan pemfaktoran matriks berkisarkan cara untuk mencari faktor yang memenuhi sifat-sifat tertentu. Sebagai contoh, pemfaktoran LU memfaktorkan matriks menjadi hasil darab matriks segi tiga bawahan dan atasan. Memandangkan cara tersebut tidak selalu berhasil, secara amnya, orang menggunakan faktorisasi LUP dengan matriks permutasi sebagai faktor ketiga.