Nombor kompleks

Sistem nombor matematik
Asas
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ Nombor asli $\mathbb {N}$ Nombor negatif Integer $\mathbb {Z}$ Nombor nisbah $\mathbb {Q}$ Nombor bukan nisbah Nombor nyata $\mathbb {R}$ Nombor khayalan Nombor kompleks $\mathbb {C}$ Nombor algebra Nombor transenden
Perluasan kompleks
Nombor dwikompleks Nombor hiperkompleks Kuaternion $\mathbb {H}$ Kokuaternion Bikuaternion Oktonion $\mathbb {O}$ Sedenion Tesarina Hipernombor Nombor supernyata Nombor hipernyata Nombor sureal
Lain-lain
Nombor nominal Nombor kompleks belah $\mathbb {R} ^{1,1}$ Nombor bersiri Nombor melampaui terhingga Nombor ordinal Nombor kardinal Nombor perdana p-adic numbers Nombor boleh bina Nombor boleh kira Jujukan integer Pemalar matematik Nombor besar Pi π = 3.141592654... e = 2.718281828... Unit khayalan $i^{2}=-1$ Ketakterhinggaan ∞

Nombor kompleks ialah gabungan nombor nyata dan nombor khayalan. Nombor kompleks mempunyai bentuk:

$a+bi\,$

di mana a dan b ialah nombor nyata, dan i ialah unit khayalan. $i$ bersamaan dengan ${\sqrt {-1}}$. $a$ dipanggil bahagian nyata nombor itu, dan $b$ dipanggil bahagian khayalan. Nombor nyata boleh disebut sebagai nombor kompleks dengan $b=0$, manakala nombor khayalan pula boleh disebut sebagai nombor kompleks dengan $a=0$.

Contohnya, $3+2i$ ialah sebuah nombor kompleks dengan bahagian nyata 3 dan bahagian khayalan 2. Katakan $z=a+bi$, bahagian nyatanya ditulis $\mathrm {Re} (z)$ atau ${\mathfrak {R}}(z)$, manakala bahagian khayalannya ditulis $\mathrm {Im} (z)$ atau ${\mathfrak {I}}(z)$.

Nombor kompleks boleh dicampur, ditolak, didarab dan dibahagi seperti nombor nyata, tetapi dengan sifat lain. Contohnya, nombor nyata sendiri tidak boleh memberi jawapan untuk semua persamaan polinomial, manakala nombor khayalan boleh.

Dalam beberapa bidang (terutamanya kejuruteraan elektrik) di mana i ialah simbol untuk arus elektrik, unit khayalan ditulis j.

Kesamaan

Dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian-bahagian nyatanya sama dan bahagian-bahagian khayalannya sama. Dalam kata lain, jika dua nombor komples ditulis sebagai $a+bi$ dan $c+di$ dengan $a$, $b$, $c$, dan $d$ adalah nyata, maka kedua-dua nombor itu adalah sama jika dan hanya jika $a=c$ dan $b=d$.

Operasi-operasi

Nombor kompleks boleh dicampur, ditolak, didarab, dan dibahagi dengan mengenakan hukum-hukum kalis sekutuan, kalis tukar tertib, dan kalis agihan, serta persamaan $i^{2}=-1$:

Campur

$\,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

Tolak

$\,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

Darab

$\,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$

Bahagi

$\,{\frac {a+bi}{c+di}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i,$

di mana $c$ dan $d$ bukan sifar. Ini diperoleh dengan mendarab pengangka dan penyebut dengan konjugat penyebut $c+di$, iaitu $(c-di)$.

Konjugat

Konjugat untuk nombor kompleks z = a + ib adalah z' = a - ib

• Z' = Z
• (Z₁+ Z₂)' = Z'₁ + Z'₂
• (Z₁.Z₂ )' = Z₁' .Z₂'
• (Z₁ / Z₂ )' = Z'₁ / Z₂ '

Rujukan

Rujukan matematik

• Ahlfors, Lars (1979), Complex analysis (ed. ke-3), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-000657-7
• Conway, John B. (1986), Functions of One Complex Variable I, Springer, ISBN 0-387-90328-3
• Joshi, Kapil D. (1989), Foundations of Discrete Mathematics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-21152-6
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A comprehensive course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 5.5 Complex Arithmetic", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (ed. ke-3), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Solomentsev, E.D. (2001), "Complex number", dalam Hazewinkel, Michiel (penyunting), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Rujukan sejarah

• Burton, David M. (1995), The History of Mathematics (ed. ke-3), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-009465-9
• Katz, Victor J. (2004), A History of Mathematics, Brief Version, Addison-Wesley, ISBN 978-0-321-16193-2
• Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of $\scriptstyle {\sqrt {-1}}$ (ed. hardcover), Princeton University Press, ISBN 0-691-02795-1

  A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.

• H.-D. Ebbinghaus ... (1991), Numbers (ed. hardcover), Springer, ISBN 0-387-97497-0

  An advanced perspective on the historical development of the concept of number.