Nombor kompleks

Sistem nombor matematik
Asas
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$ Nombor asli $\mathbb {N}$ Nombor negatif $\mathbb {Z} ^{-}$ Integer $\mathbb {Z}$ Nombor nisbah $\mathbb {Q}$ Nombor bukan nisbah $\mathbb {Q} '$ Nombor nyata $\mathbb {R}$ Nombor khayalan $\mathbb {I}$ Nombor kompleks $\mathbb {C}$ Nombor algebra ${\overline {\mathbb {Q} }}$ Nombor transenden $\mathbb {T}$
Perluasan kompleks
Nombor dwikompleks Nombor hiperkompleks Kuaternion $\mathbb {H}$ Kokuaternion Bikuaternion Oktonion $\mathbb {O}$ Sedenion $\mathbb {S}$ Tesarina Hipernombor Nombor supernyata Nombor hipernyata Nombor sureal
Lain-lain
Nombor kompleks belah $\mathbb {R} ^{1,1}$ Nombor bersiri Nombor melampaui terhingga Nombor ordinal Nombor kardinal $\aleph _{n}$ Nombor perdana $\mathbb {P}$ Nombor p-adik Nombor boleh bina Nombor boleh kira Jujukan integer Pemalar matematik $x$ Nombor besar Pi $\pi$ Nombor Euler $e$ Unit khayalan $i$ Ketakterhinggaan $\infty$

Nombor kompleks ialah gabungan nombor nyata dan nombor khayalan. Nombor kompleks mempunyai bentuk$a+bi\,$di mana $a$ dan $b$ ialah nombor nyata, dan $i$ ialah unit khayalan.

$z=a+bi$ | $a,b\in \mathbb {R}$

Secara terminologi, $a$ dikatakan sebagai bahagian nyata nombor manakala $b$ dikatakan sebagai bahagian khayalan nombor kompleks itu. Bahagian nyata ditandai dengan fungsi $\mathrm {Re} (z)$ atau ${\mathfrak {R}}(z)$ dan bahagian khayalan ditandai dengan fungsi $\mathrm {Im} (z)$ atau ${\mathfrak {I}}(z)$.

$\mathrm {Re} (a+bi)={\mathfrak {R}}(a+bi)=a$ | $a,b\in \mathbb {R}$

$\mathrm {Im} (a+bi)={\mathfrak {I}}(a+bi)=b$ | $a,b\in \mathbb {R}$

Dua nombor kompleks adalah sama jika dan hanya jika bahagian-bahagian nyatanya sama dan bahagian-bahagian khayalannya sama. Maka;

$z_{1}=z_{2}\,\,\Leftrightarrow \,\,\mathrm {Re} (z_{1})=\mathrm {Re} (z_{2})\,\,\mathrm {dan} \,\,\mathrm {Im} (z_{1})=\mathrm {Im} (z_{2})$

Set bagi semua nombor kompleks diwakili dengan $\mathbb {C}$.

$\mathbb {C} =\{a+bi\,|\,a,b\in \mathbb {R} \}$

Etimologi

Perkataan 'nombor kompleks' dikenalkan oleh Carl Friedrich Gauss. Perkataan "kompleks" itu sendiri mencerminkan idea untuk menggabungkan kedua-dua bahagian nyata dan khayalan.

Satah Cartes

Nombor kompleks boleh diplotkan atas satah Cartes.

Paksi-$x$ dilabelkan sebagai paksi nyata manakala paksi-$y$ dilabel sebagai paksi khayalan. Satah ini sekarang dekenali sebagai satah kompleks.

$2i$ dan $4i$ diplotkan atas satah kompleks.

Operasi Aritmetik atas Nombor nyata

Operasi aritmetik asas atas nombor kompleks boleh menghasilkan hasilan unik.

Penambahan dan Penolakan

• $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(c+d)i$,

• $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(c-d)i$,

Di mana $a$, $b$, $c$ dan $d$ adalah nombor nyata.

Pendaraban dan Pembahagian

• $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(cb+ad)i$,

Di mana $a$, $b$, $c$ dan $d$ adalah nombor nyata.

• $\,{\frac {a+bi}{c+di}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i,$

Di mana $a$, $b$, $c$, $d$ adalah nombor nyata dan $c+di\neq 0$.

Konjugat

Konjugat bagi $z$.

Konjugat bagi suatu nombor kompleks $z=a+bi$ ditandai dengan $z'$ adalah nombor kompleks dimana tanda bahagian khayalan terbalik. Jadi;

$z=a\pm bi\Longrightarrow z'=a\mp bi$

Konjugat nombor kompleks $z$ juga ditandai dengan ${\overline {z}}$.

Rumus-rumus Konjugat Kompleks

Tersebut adalah rumus-rumus konjugat nombor kompleks;

• ${\overline {({\overline {z}})}}=z$
• $z_{1}\pm z_{2}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$
• ${\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}$
• ${\overline {z_{1}z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\,\,{\overline {z_{2}}}$
• ${\overline {{\Bigl (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\Bigr )}}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}$

Etimologi Konjugat

Konjugat datang daripada perkataan bahasa Latin 'coniugatus' yang datang dicantum dengan 'con' dan 'jugam' yang bermaksud 'bersama' dan 'terikat'.

Nilai Mutlak Nombor Kompleks

Maklumat selanjutnya: Nilai mutlak

Nilai mutlak, modulus atau magnitud ditakrifkan sebagai jarak suatu nombor daripada 0. Mengikut definisi ini, nilai mutlak bagi suatu nombor kompleks $z$ ditakrifkan sebagai;

$|z|={\sqrt {\,\mathrm {Re} (z)^{2}+\mathrm {Im} (z)^{2}\,}}$

Ini serupa dengan teorem Pythagoras.

Dalam beberapa konteks, $|z|$ mungkin diwakili dengan huruf $r$.

Bentuk Polar

Dalam rajah ini, $\varphi$ adalah argumen bagi $z$.

Bentuk polar (atau bentuk kutub) adalah bentuk nombor kompleks yang ditulis dalam argumen dan nilai mutlak manakala bentuk $a+bi\,$ bagi suatu nombor kompleks dikenali sebagai bentuk segi empat tepat. Ini adalah bentuk polar nombor kompleks $z$;

$z=r[\,\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )]$

Di mana $\theta$ adalah argumen, $r$ adalah nilai mutlak dan $\mathrm {sin} (x)$ dan $\mathrm {kos} (x)$ adalah fungsi trigonometrik. Dalam konteks analisis kompleks, argumen adalah sudut antara paksi nyata dan garisan daripada nombor kompleks, ia diwaklili dalam unit radian. Argumen bagi suatu nombor kompleks $z$ boleh ditulis dengan fungsi $\mathrm {Arg} (z)$ atau $\mathrm {arg} (z)$.

$\mathrm {Arg} (z)=\mathrm {arg} (z)=\theta$

$\theta =\mathrm {arctan} {\Biggl (}{\frac {\mathrm {Im} \,z}{\mathrm {Re} \,z}}{\Biggr )}$

Bulatan unit atas satah kompleks.

Ingat, bagi suatu nombor kompleks, terdapat infiniti argumen yang boleh didapati. Ia diwakili dalam bentuk $\theta +2\pi n$ di mana $n$ adalah suatu integer. Oleh sebab itu, untuk fungsi $\mathrm {Arg} (z)$ menjadi fungsi, ia ditakrifkan untuk mengoutputkan nilai antara $[-\pi ,\pi ]$. Ini dipanggil argumen principal.

Juga, bentuk polar bagi nombor kompleks boleh ditulis seperti ini;

$z=re^{i\theta }$

Di mana $e$ adalah pemalar Euler, pemalar yang hampiri 2.718281828.

Bukti Bentuk Polar

Bentuk polar $e^{i\theta }$ boleh dibuktikan dengan kaedah yang mudah.

Pertama, bermula dengan Siri Taylor bagi fungsi sinus dan kosinus;

$\mathrm {sin} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots$

$\mathrm {kos} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots$

Sekarang, gantikan $x$ dengan $i\theta$;

• $\mathrm {sin} (i\theta )=i\theta -{\frac {{(i\theta )}^{3}}{3!}}+{\frac {{(i\theta )}^{5}}{5!}}-{\frac {{(i\theta )}^{7}}{7!}}+{\frac {{(i\theta )}^{9}}{9!}}-\cdots$

$\,\,\,\,\,=i\theta +{\frac {i{\theta }^{3}}{3!}}-{\frac {i{\theta }^{5}}{5!}}+{\frac {i{\theta }^{7}}{7!}}-{\frac {i{\theta }^{9}}{9!}}+\cdots$

• $\mathrm {kos} (i\theta )=1-{\frac {{(i\theta )}^{2}}{2!}}+{\frac {{(i\theta )}^{4}}{4!}}-{\frac {{(i\theta )}^{6}}{6!}}+{\frac {{(i\theta )}^{8}}{8!}}-\cdots$

$\,\,\,\,\,=1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots$

Gantikan terbitan tersebut dalam $\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )$;

$\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )$

$\,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )+i(i\theta +{\frac {i{\theta }^{3}}{3!}}-{\frac {i{\theta }^{5}}{5!}}+{\frac {i{\theta }^{7}}{7!}}-{\frac {i{\theta }^{9}}{9!}}+\cdots )$

$\,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )-\theta -{\frac {{\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{5}}{5!}}-{\frac {{\theta }^{7}}{7!}}+{\frac {{\theta }^{9}}{9!}}-\cdots$

Sambil ini, sediakan Siri Taylor bagi $e^{x}$;

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}\cdots$

Gantikan $x$ dengan $i\theta$ dan menyusunkan terma tersebut;

$e^{i\theta }=1+i\theta +{\frac {{(i\theta )}^{2}}{2!}}+{\frac {{(i\theta )}^{3}}{3!}}+{\frac {{(i\theta )}^{4}}{4!}}+{\frac {{(i\theta )}^{5}}{5!}}\cdots$

$e^{i\theta }=1+i\theta -{\frac {{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {{i\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {{i\theta }^{5}}{5!}}\cdots$

$\,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )-\theta -{\frac {{\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{5}}{5!}}-{\frac {{\theta }^{7}}{7!}}+{\frac {{\theta }^{9}}{9!}}-\cdots$

Perhatikan bahawa $e^{i\theta }$ dan $\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )$ bersamaan dengan $\,=(1+{\frac {i{\theta }^{2}}{2!}}-{\frac {i{\theta }^{4}}{4!}}+{\frac {i{\theta }^{6}}{6!}}-{\frac {i{\theta }^{8}}{8!}}+\cdots )-\theta -{\frac {{\theta }^{3}}{3!}}+{\frac {{\theta }^{5}}{5!}}-{\frac {{\theta }^{7}}{7!}}+{\frac {{\theta }^{9}}{9!}}-\cdots$.

Maka;

$\therefore e^{i\theta }=\mathrm {kos} (\theta )+i\mathrm {sin} (\theta )$

Ekstensi Domain Fungsi

Beberapa domain bagi beberapa fungsi asas boleh diperpanjangkan untuk menerima nombor kompleks.

Fungsi Trigonometrik

$\mathrm {sin} (z)={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$

$\mathrm {kos} (z)={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

$\mathrm {tan} (z)=-{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}i$

Fungsi Logaritma

Logaritma asli ialah logaritma yang mempunyai $e$ sebagai asasnya. Rumus logaritma asli yang mempunyai domain yang boleh menerima nombor kompleks adalah;

$\mathrm {ln} (z)=\mathrm {ln} (r)+i\theta$

Di mana $r$ adalah nilai mutlak $z$ dan $\theta$ ialah argumen bagi $z$.

Dengan rumus ini, ekstensi domain logaritma asas $n$ boleh dirumuskan;

$\mathrm {log} _{n}(z)=\mathrm {log} _{n}(r)+{\frac {\theta }{\mathrm {ln} (n)}}i$

Di mana $n\in \mathbb {R} ^{+}$, nombor positif nyata.

Aplikasi Nombor Kompleks

Matematik

Nombor kompleks merupakan konsep asas dalam bidang matematik. Nombor-nombor kompleks digunakan dalam banyak rumus dan teorem sepanjang bidang analisis kompleks, geometri, topologi, persamaan pembezaan dan sistem dinamikal.

Fizik

Dalam fizik, nombor kompleks digunakan dalam bidang seperti fizik kuantum. Antara contoh utama adalah persamaan Schrödinger;

$i{\bar {h}}{\frac {d}{dt}}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle$

Dalam perkataan Erwin Schrödinger,

"Apa yang tidak menyenangkan di sini, dan sememangnya perlu dibantah, adalah penggunaan nombor kompleks." - Erwin Schrödinger